Схема сложных процентов. Сложный процент

Сущность процентов и процентных ставок

ТЕМА 3. ОСНОВЫ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ

11.02.13

Проценты – это доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты, т.д.), либо от инвестиций производственного и финансового характера.

Процентная ставка – это величина, характеризующая интенсивность начисления процентов. Она определяется как отношение дохода, выплачиваемого за использование капитала в течение определенного периода времени к величине этого капитала.

Таким образом, величина получаемого дохода, то есть процентов, зависит от величины вкладываемого капитала, срока, на который он предоставляется в долг или инвестируется, размера и вида процентной ставки.

Множитель, или коэффициент наращения , - это величина, показывающая во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Период начисления – это промежуток времени, за который начисляются проценты. Период начисления может разбиваться на интервалы начисления – это минимальный период по прошествии которого происходит начисление процентов.

Процентные ставки могут быть либо простыми , если они применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления, либо сложными, если по прошествии каждого интервала начисления они применяются к сумме долга и начисленных за предыдущие интервалы процентов.

В большинстве коммерческих операций подразумеваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений или выплат в течение определенного периода. Такая последовательность называется потоком платежей. Поток однонаправленных платежей с равными интервалами между ними называется аннуитетом, или финансовой рентой.

Наиболее распространенные примеры аннуитета – регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам (аннуитет называется дивидендом ).

Простые проценты применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты.

Введем следующие обозначения:

· П – проценты за весь срок

· Р – первоначальная сумма

· С – сумма, образовавшаяся к концу срока, или наращенная сумма

· А – ставка процентов в идее десятичной дроби

· n – число периодов

Процесс изменения суммы долга с наращенными простыми процентами описывается арифметической прогрессией:

Р+Р*А=РР*(1+А)

Р*(1+А)+Р*А = Р*(1+2А)

С = Р*(1+n*А)

Это выражение называется формулой простых процентов, а множитель (1+n*А) – множителем наращения простых процентов.

Если срок начисления процентов меньше периода, на который установлена процентная ставка, то формула простых процентов приобретает вид:

С = Р*(1+Т/К*А ),

где Т – число дней ссуды, К – число дней в году

За базу измерения времени часто берут год условно состоящий из 360-ти дней, то есть 12 месяцев по 3- дней. В этом случае вычисляют обыкновенный или коммерческий процент. В отличие от него точный процент получают, когда за базу берут действительное число дней в году 365 или 366. В свою очередь определения числа дней ссуды может быть точным или приближенным. В первом случае подсчитывается фактическое число дней между двумя датами, во втором продолжительность ссуды определяется количеством целых месяцев и дней ссуды, причем месяц принимается равным 30-ти дням.

В том и в другом случае дата выдачи и дата погашения считается за 1 день. В связи с этим применяется 3 варианта расчета:

· точные проценты с точным числом дней ссуды

· обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды

· обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды

Сложные проценты в настоящее время являются весьма распространенным видом процентных ставок, применяемых в различных финансовых операциях. Если после каждого интервала начисления доход не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулу сложных процентов.

Таким образом, наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления.

Рост по сложным процентам представляет собой процесс, развивающийся в геометрической прогрессии:

Р+Р*А = Р*(1+А)

Р*(1+А)++Р*(1+А)*А = Р*(1+А) 2

С = Р*(1+А) n

Это выражение называется формулой сложных процентов, а (1+А) n – множителем наращения сложных процентов.

Начисление сложных процентов может осуществляться на один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов – это годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке An эта величина считается равной An/m. Тогда формула сложных процентов будет иметь вид:

n – число лет ссуды

m – количество интервалов начислений в год

Можно определить годовую ставку сложных процентов, которая дает тот же финансовый результат, что и m разовое наращение в год по стае Аn/m – эта ставка называется эффективной и определяется:

Аэ = (1+An/m) m – 1

Часто встречаются ситуации когда финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет. Если общее число интервалов начисления не является целым числом, то проценты могут начисляться одним из двух методов:

· по схеме сложных процентов:

С = Р*(1+An/m) n + l

· по смешанной схеме, когда для целого числа лет используется схема сложных процентов, а для дробной части года – схема простых процентов:

C = P*(1+An/m) n*m +P(1+l*An/m)

n – целое число лет, l – дробная часть года

Все рассмотренные выше проценты называются дискретными, так как их начисление осуществляется за фиксированный промежуток времени (год, месяц, квартал, день). В РФ этот вид начисления процентов является наиболее распространенным. В мировой практике также применяется так называемое непрерывное начисление сложных процентов, то есть когда продолжительность интервала начисления стремится к 0, а их количество к бесконечности. В РФ это способ начисления процентов практически не применяется.

Множественность способов начисления процентных ставок вызывает необходимость их корректного сопоставления. Для этого при расчетах, проводимых по различным финансовым операциям, определяются так называемые эквивалентные процентные ставки.

Эквивалентные процентные ставки – это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты. Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случаях, когда существует возможность выбора условий финансовой операции и требуется инструмент дл их сравнения.

Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнение эквивалентности , принцип составления которых заключается в следующем: выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных процентных ставок. Обычно это наращенная сумма. На основе равенства двух выражений для данной величины составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида.

Данная тема относится к и обязательна для изучения при инвестировании, построении капитала или просто для накопления необходимой суммы денег. В финансовой сфере принято отличать принцип расчета простых и сложных процентов. Например, в банковской сфере сложный процент понимается под понятием . А в инвестициях часто используют слово "реинвестирование".

Сложным процентом называют геометрическую прогрессию денежной суммы, при которой начисленные проценты прибыли прибавляются к базовой сумме, в следующем периоде базовая сумма увеличивается и процент начисляется уже на нее. За счет этого эффекта доходность получается выше, чем при простом проценте.

Капитализация или реинвестирование - это суммирование начисляемых процентов с базовой суммой в обозначенный период. В последующем периоде базовая сумма изменяется на эту величину процента, таким образом достигается прогрессивное или лавинообразное увеличение суммы средств. При подсчете по формуле простого процента, базовая сумма всегда остается неизменной.

Вся эта теория для неподготовленного читателя кажется через чур трудоемкой и запутанной. Но мы вас уверяем, ничего сверхсложного в формуле сложного процента и его отличия от простого нет. Сейчас разберем несколько задач и все встанет на свои места.

Примеры расчета простого и сложного процента

Простой

Вы положили на обычный депозитный счет 1000 рублей под 10% годовых на 3 года. Через 3 года вы снимаете 1300 рублей. Так работает простой процент.

Сложный

Вы положили на депозитный счет 1000 рублей, но в характеристиках вклада указано "с ежегодной капитализацией процентов" . Те же - 10% годовых, срок тот же - 3 года. Через 3 года вы снимаете уже 1331 рубль. За счет эффекта сложного процента вы получили больше на 31 рубль, чем в первом случае.

Подробнее о сложном проценте

Простые проценты нам больше не интересны, а формула сложного выглядит так:

S - сумма, которую вы снимете в конце

B - базовая сумма

Pr - процентная ставка

n - временной период (может быть как в годах, так и в месяцах)

Давайте теперь посчитаем на суммах и процентах более приближенных к реальности, чтобы ощутить разницу в полной мере.

Задача №1

• банковский депозит на сумму 100 тыс. руб.
• процентная ставка 8% годовых
• срок 4 года
• присутствует ежегодная капитализация процентов

В данном случае происходит ежегодная капитализация процента по вкладу. В некоторых банках также бывает услуга ежемесячной капитализации процентов. Об этом в задаче ниже.

Задача №2

• банковский депозит на сумму 100 тыс руб.
• процентная ставка 8% годовых
• период 4 года
• ежемесячная капитализация

• конечную результирующую сумму (доход + %)

В формуле нужно применять ежемесячный процент, для этого 8 разделим на 12 месяцев. Получается 0,67% - это процент за месяц. И обратите внимание, степень теперь равна 48 - это количество месяцев за 4 года. Подставляем его в формулу:

Выводы

При ежемесячной капитализации результирующий доход вкладчика получился больше на 1736 рублей.

Чтобы сложный процент работал, не нужно снимать начисленные проценты, пусть они капитализируются на счете. Тогда вы получите больше выгоды от депозита.

Формула сложного процента на примере реального банковского вклада

Выше мы рассмотрели упрощенные примеры работы сложного процента. На самом деле банки используют немного усложненную формулу.

Ставка процентов представляется как

g - ставка в % годовых, разделенная на 100. Если 8% годовых, то получаем g =0,08
d - количество дней, через которое проценты капитализируются с базовой суммой
y - кол-во дней в году

Формула универсальная и позволяет сделать вычисление для разных типов депозитов. Таким образом, наша основная формула стала чуть-чуть сложнее:

Математическое понятие "геометрическая прогрессия" помогает работать банковскому вкладу с капитализацией гораздо более эффективно, чем без капитализации. Человеческий мозг не всегда может представить разницу или она поначалу ему кажется не существенной. В действительности, на значительных отрезках времени сложный процент начинает играть огромную роль при построении капитала.

Пример расчета сложного процента на большом отрезке времени

Возьмем одновременно 2 примера с простым и сложным процентами, чтобы разница была наглядной. В обоих вариантах начальная базовая сумма будет составлять 10 тыс. руб. на 20 лет под 10% годовых. В столбцах "сложный процент" сумма процентов каждый год будет прибавляться к базовой сумме.

Как мы видим при длительном отрезке капитализация процентов выглядит очень поразительным инструментом! И чем больше период вложений, тем более разительной становится разница. Но давайте рассмотрим еще более впечатляющий пример.

Как поможет сложный процент в построении капитала?

Самый впечатляющий пример работы сложного процента будет ниже.

Представьте, что базовая сумма у вас совсем мизерная - 1000 рублей. Но вы каждый месяц можете откладывать от зарплаты по 1000 рублей.

Теперь прикинем варианты, какие проценты дают доступные средства сохранения и инвестирования денег в год:

• 5% - государственные облигации, так называемые облигации федерального займа. Это упрощенно, на самом деле суммы может быть побольше.
• 10% - самый щедрый банковский вклад
• 15% - смешанный инвестиционный портфель акций и облигаций
• 20% - такой процент годовых может дать портфель из акций фондовой биржи.

Давайте не будем больше приводить формулы, так как мы уже все подробно рассказали. Теперь просто возьмем итоговые цифры, которые поражают воображение неподготовленного человека.

Как мы видим результаты впечатляющие, суммы растут как снежный ком. Вы все можете проверить по калькулятору или экселю, здесь нет обмана. Вы действительно можете стать миллионером, откладывая всего по 1000 рублей в месяц.

А что если вы сможете откладывать по 10000 рублей? Теперь подрисуйте в таблице везде по нолику и еще раз удивитесь результатам.

Вы можете возразить, что действительно интересные суммы появляются только при 20% годовых. А вкладывать в акции вы, мол, не умеете. В действительности, это не такое сложное занятие.. Есть очень простые стратегии инвестирования в акции. Вам не понадобится думать, как выбирать акции и каждый день или неделю продавать их или покупать. Тут все почти как с банковским вкладом. Вы просто откладываете деньги покупаете на них каждый месяц одни и те же акции или паи фонда. Это краткая суть стратегии.

Почему в акции инвестировать безопасно? Почему акции непременно будут расти на 20% годовых? Подробная информация о стратегии и ответы на эти вопросы вы получите на нашем вебинаре об , а точнее записи этого вебинара.

Вспомогательные формулы

Привожу еще пару вспомогательных формул, которые могут пригодиться при составлении личного финансового плана. Они выражаются из уже написанных выше. Рассмотрим все на примерах задач.

Задача №1

• у вас есть 60 тыс. рублей
• вы хотите приумножить их до 250 тыс. рублей
• у вас есть срок 15 лет

• под какую процентную ставку нужно вложить деньги?

Расчет:

Ответ равен 10,03 процентам

Задача №2

• у вас есть 50 тыс. рублей
• вы хотите приумножить их до 1 млн. рублей
• вы уверены, что сможете вложить их под 40% годовых

• сколько потребуется для этого времени в годах?

Расчет:

Ответ: 8,9 лет.

Заключение

Описанная формула простых и сложных процентов построения капитала активно используется во всем мире, будь то обычное накопление или инвестирование. Профессиональные финансовые советники и богатейшие люди мира одинаково хорошо отзываются и рекомендуют прибегать к сложным процентам для улучшения своего финансового положения.

Как мы увидели, не обязательно иметь крупную сумму в самом начале, главное регулярно откладывать деньги и пользоваться хорошим процентом.

Имеющие сбережения заинтересованы в их сохранности и получении дополнительного дохода. Поэтому, выбрав надежный банк, вкладчики изучают условия и подсчитывают возможную прибыль. В большинстве случаев на вклады банки предлагают начисление сложных процентов.

Что это такое, чем выгодна такая схема, и какова формула сложных процентов по вкладам? Об этом расскажем ниже.

Что такое сложный процент?

Этим термином называют эффект, при котором к основной сумме вклада прибавляются проценты прибыли. Например, на вклад в сумме 100 000 рублей банк ежемесячно начисляет проценты.

Допустим, что процентная ставка составляет 10% годовых, и за первый месяц начислено 833 рубля. В следующем месяце на вкладе образуется сумма в размере 10 833 рубля, и на нее банк будет начислять проценты.

Таким образом, за второй месяц вкладчик получит доход уже 840 рублей, и так далее. Поэтому, размещая в банке депозит с капитализацией, можно получить больше прибыли, чем по вкладу с возможным снятием процентов.

Несколько статей по теме:

Приведем простой пример расчета сложных процентов для вклада сроком на три месяца.

Предположим, что на счет была внесена сумма 100 000 рублей под 12% годовых. Если забыть о сложном проценте, то предполагаемая прибыль определяется в 2958 рублей.

Но мы помним о капитализации и проводим расчеты, учитывая ежемесячное начисление процентов. Для наглядности представим расчет в таблице:

Таким образом, вкладчик получит 2988 рублей. Это на 40 рублей больше, чем по схеме простого процента.

Тем, кто знаком с таблицами excel не составит труда сделать подобные расчеты для своих банковских вкладов.

Можно воспользоваться и математической формулой расчета:

S – общая сумма вклада с процентами (то, что получит вкладчик по окончании срока договора);

• Р – базовая сумма, первоначальный размер депозита;
• n –количество периодов начисления процентов (месяцев, лет, кварталов, дней);
• I – годовая процентная ставка.

Например, заключая договор с банком на 12 месяцев под ставку 12% годовых, владелец вклада с капитализацией получит:

S = 100 000 * (1+12/100/12)12 = 112829 руб.

Самые выгодные условия по вкладу

Из предыдущего раздела понятно, что схема с применением сложного процента дает больше прибыли, чем простые варианты. Но вкладчикам стоит знать о том, как банки могут манипулировать цифрами.

Самая распространенная уловка – предложение открыть вклад с начислением дохода в конце срока и увеличением ставки при пролонгации. На первый взгляд, подвоха нет: банк начислит положенный доход, увеличит тариф на следующий сезон.

Но на цифрах это выглядит менее привлекательно: расчеты производятся по формуле простого процента. На депозит в размере 100 000 рублей по ставке 12% годовых банк начислит доход 12 000 рублей. Условия договора могут содержать и «подводные камни».

Например, при продлении вклада еще на год, тариф составит 12,5%. А при расторжении договора банк оставляет за собой право начислить доход по ставке 10% годовых.

Еще один распространенный в банках вариант «экономии»– по вкладу с капитализацией начислять доход ежеквартально. Заключая подобный договор, вкладчик может не понимать, в чем его потери. А расчет банка прост: проценты по депозиту начисляются в конце каждого квартала. Соответственно, и капитализация происходит четыре раза в год, а не двенадцать, как при ежемесячном начислении.

Вот пример такого подхода:

Таблица 1. Ежемесячное начисление

Таблица 2. Ежеквартальное начисление

Как видно, разница составляет 132 рубля в пользу банка.

Вкладчикам, которые хотят открыть короткий депозит, например, на несколько дней новогодних каникул, нужно знать о том, что день выдачи средств не считается в общем сроке их использования.

Простыми словами: открывая депозит 30 декабря и забирая деньги 12 января, клиент получит доход за 13 дней, а не за 14: банк не начислит проценты за 12 января.

Как правило, самые выгодные для клиента варианты – это депозиты с капитализацией, ежемесячным начислением и с пополнением. Но банки ставят по таким вкладам не самые высокие тарифы, манипулируя цифрами и ориентируя вкладчиков на длительное размещение средств.

Могут быть и другие нюансы, о которых стоит знать заранее. Поэтому, выбирая банк, нужно ориентироваться не только на величину процентов по вкладам, но и на способ начисления, условия выплаты и дополнительные возможности для вкладчика.

О том, насколько выгоден тот или иной банковский вклад, судят не только по процентной ставке, но и по способу начисления процентов. В банковской практике используются простые и сложные проценты.

С простыми процентами все более или менее понятно: проценты начисляются один раз в конце срока вклада.

В банковских договорах процентная ставка указывается за год. Для других периодов (например, месяца) нужно перевести срок вклада в дни использовать для расчета простых процентов следующую формулу:

Fv = Sv * (1 + R * (Td / Ty)), где

• Fv — итоговая сумма;
• Sv — начальная сумма;
• Td — срок вклада в днях;
• Ty — количество дней в году.

Сложные проценты — это такой вариант, при котором происходит капитализация процентов , т.е. их причисление к сумме вклада и последующий расчет дохода не от первоначальной, а от накопленной суммы вклада. Использование сложных процентов аналогично ситуации, при которой вкладчик по окончании определенного периода снимает со счета все средства (вклад плюс накопленные проценты), а затем делает новый вклад на всю полученную сумму.

Чуть подробнее о периодах. Дело в том, что капитализация происходит не постоянно, а с некоторой периодичностью. Как правило, такие периоды равны и чаще всего банки используют месяц, квартал или год.

В итоге, для расчета сложных процентов используется следующая формула:

Fv = Sv * (1 + (R / Ny))Nd, где

• Fv — итоговая сумма;
• Sv — начальная сумма;
• R — годовая процентная ставка;
• Ny — количество периодов капитализации в году;
• Nd — количество периодов капитализации за весь период вклада.

Для наглядности рассмотрим вклад в 10 000 рублей под 12 процентов годовых сроком на 1 год, но будет происходить ежемесячная капитализация процентов.
Общая сумма: 10 000 * (1 + 0,12 / 12)12 = 11 268,25 руб.
Итоговый доход: 11 268,25 - 10 000 = 1 268,25 руб.
При вкладе с простыми процентами эта сумма (то есть прибыль вкладчика) составляет лишь 1 120 руб.

Необходимо отметить, что в договоре банковского вклада формулировки «простые проценты» или «сложные проценты» не используются. В этом документе отмечается, когда происходит начисление процентов. Для банковского вклада с простыми процентами используется формулировка «проценты начисляются в конце срока». Если же используется капитализация процентов, указывается, что начисление процентов происходит ежедневно, ежемесячно, ежеквартально или ежегодно.

Какие вклады выгоднее?

Из самой сущности сложных процентов следует, что чем чаще происходит их начисление (при равной процентной ставке), тем более выгодным будет вклад. Воспользуемся приведенной ранее формулой расчета сложных процентов чтобы убедиться в этом. Исходные данные - те же: сумма 10 000 руб., ставка - 12 процентов годовых.
При ежегодном начислении: 10 000 * (1 + 0,12)1 = 11 200 руб.
В данном случае сумма совпадет с суммой, полученной при расчете простых процентов, что вполне закономерно.
При ежеквартальном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 4)4 = 11 255,09 руб.
При ежемесячном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 12)12 = 11 268,25 руб.
При ежедневном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 365)365 = 11 274,75 руб.
Итак, при равной процентной ставке вклад с капитализацией процентов, несомненно, более выгоден.

Но нередко складываются ситуации, когда нужно решить, что предпочесть: вклады с простыми процентами и более высокой процентной ставкой и вклады с капитализацией и меньшей процентной ставкой. Здесь тот факт, что процент тоже приносят прибыль, оказывается более выгодным лишь до определенного предела. Поэтому торопиться не стоит. Нужно внимательно изучить условия каждого из предлагаемых вкладов и произвести соответствующие вычисления.

Допустим, клиент выбирает между двумя вариантами вложения денег на срок 1 год: вклад с простыми процентами и ставкой в 12 процентов годовых и вклад со сложными процентами (ежеквартальное начисление) и ставкой в 10 процентов годовых. Прибыль в первом случае уже рассчитана и составляет 1120 руб. Прибыль для второго случая:
10 000 * (1 + 0,1 / 4)4 - 10 000 = 1 038 руб.
Таким образом, в этом случае вклад с простыми процентами и более высокой процентной ставкой оказывается предпочтительней.

Простые и сложные проценты: типы начисления процентов у банковских вкладов

Смысл простой схемы начисления процентов в том, что проценты начисляются все время на первоначальную сумму вклада независимо от срока вклада. В этом случае наращенная сумма находится по формуле

,

, т.е.

Пусть , т. е. в течение срока , затем в течение срока– по ставке

Пусть сумма вклада меняется во времени , т. е. в течение срока вклада на счет поступают (снимаются) суммы в размере ,и т. д. Тогда наращенная сумма находится по формуле

где до момента окончания вклада,до момента окончания вклада.

На практике для вычисления процентов часто определяют процентное число и процентный ключ (дивизор) . Если ставку i измерять в процентах, то

I =

Процентным числом назовем величину Р  t / 100,

а процентным ключом – К / i .

С учетом последних двух формул сумма процентных денег может быть рассчитана так:

I =
.

Пусть происходит реинвестирование по простой ставке , т. е. наращенная сумма к концу срока становится базой для расчета процентов на срок, сумма, наращенная к концу этого срока, становится базой для расчета процентов на сроки т. д. Тогда наращенная сумма к концу всего срока вклада находится по формуле:

Начисление по схеме сложных процентов

Смысл сложной схемы начисления процентов в том, что процентные деньги, начисленные после периода начисления (обычно, года), присоединяются к первоначальной сумме. Полученная сумма является базой для начисления процентов в следующем периоде. Таким образом, база для начисления сложных процентов, в отличие от простых процентов, увеличивается с каждым периодом начисления.

Если период начисления Т – целое число лет, то наращенная сумма находится по формуле:

Если срок вклада Т не является целым числом, то наращенная сумма может быть найдена по схемам:

– обыкновенной:

– смешанной: Т представляется в виде суммы целого числа лет и оставшейся нецелой части года Т= Т цел + Т дроб , и наращенная сумма равна

Например, сумма в размере 100 тыс. руб. помещена в банк сроком на 27 месяцев под 12% годовых.

Наращенная сумма, рассчитанная по обыкновенной схеме, составляет:

129,045 тыс. руб.

Поскольку 27 месяцев – это 2 года плюс 3 месяца, то Т цел =2, Т дроб =3/12=1/4=0,25, то наращенная сумма, рассчитанная по смешанной схеме, равна:

129,203 тыс. руб.

Пусть процентная ставка меняется во времени , т. е. в течение срока проценты начисляются по ставке, затем в течение срока– по ставкеи т. д. Тогда наращенная сумма находится по формуле

Номинальная и эффективная ставка процента

Номинальная годовая ставка i – это исходная годовая ставка, которую назначает банк для начисления процентов. Номинальная ставка может начисляться один раз в год. Тогда наращенная сумма равна

Если же номинальная ставка начисляется несколько раз в год, то наращенная сумма находится по формуле

где – срок вклада (в годах),
– число начислений процентов в год.

Например, если первоначальный размер вклада равен 100 тыс. руб., а номинальная ставка 12% годовых начисляется раз в год, то наращенная сумма через 2 года составит:

тыс. руб.,

а при ежеквартальном начислении процентов наращенная сумма равна:

=126,677 тыс. руб.

Эффективная ставка – это ставка, измеряющая реальный доход, получаемый при
-кратном начислении процентов в год. Таким образом, выполняется равенство

и эффективная ставка может быть найдена по формуле

.

Пусть сумма вклада меняется во времени , т. е. на счет поступают суммы в размере (первоначальный взнос),и т. д. Тогда наращенная сумма находится по формуле

где – это срок с момента поступления (снятия) суммыдо момента окончания вклада,– срок с момента поступления (снятия) суммыдо момента окончания вклада.

Рассмотрим частный случай – начисление сложных процентов при регулярных взносах. Такое поступление денежных средств называется финансовой рентой с постоянными членами , а наращенная сумма всех взносов – наращенной суммой ренты.

Пусть на счет регулярно вносятся одинаковые суммы через одинаковые периоды времени (раз в год).

Введем обозначения:

R – размер ежегодного платежа;

n – число лет, в течение которых поступают взносы.

Если выплаты производятся в конце года (рента постнумерандо), то наращенная сумма через n лет определяется по формуле

Если выплаты производятся в начале года (рента пренумерандо), то наращенная сумма через n лет определяется по формуле