Модель гордона и формула оценки бизнеса для инвестирования или покупки. Расчёт цены акции при постоянном темпе роста дивидендов

Модель постоянного роста (Dividend Discount Model, DDM ) - это модель, в которой предполагается, что дивиденды будут расти от периода к периоду в одной пропорции, т.е. с одинаковым темпом роста. Данная модель широкое распространение получила под названием (Gordon Growth Model ).

Модель названа в честь М. Дж. Гордона (M.J. Gordon), который первоначально опубликовал ее в совместном с Эли Шапиро (Eli Shapiro) исследовании: Capital Equipment Analysis: The Required Rate of Profit, Management Science, 3(1) (October 1956).

Как мы знаем, формула дисконтирования предполагает, что приведенная стоимость акции PV (определяющая ее цену в исходный момент времени) может быть представлена в виде:

М. Дж. Гордон для упрощения расчетов предположил: поскольку срок действия акции теоретически не ограничен, считаем, что поток денежных выплат представляет собой бесконечный поток дивидендов (ликвидационной суммы уже не будет, так как акция существует бесконечно долго). Кроме того Гордон предложил считать все величины ставки прироста ежегодных выплат (g) одинаковыми, т. е. дивиденды возрастают ежегодно в (1+g) раз, причем величина (g) не меняется до бесконечности. С учетом этого допущения формула примет вид :

Таким образом, расчет стоимости в соответствии с моделью Гордона производится по формуле:

Кроме вышеуказанных упрощений, модель Гордона предполагает что:

Величина k должно быть всегда больше g , в противном случае цена акции становится неопределенной. Это требование вполне логично, так как темп прироста дивидендов g может в какой-то момент превысить требуемую норму отдачи акции k . Однако это не произойдет, если полагать выбранный срок дисконтирования бесконечным, ибо в данном случае дивиденды постоянно прирастали бы более высокими темпами, чем норма отдачи акции, что невозможно.

Предприятие должно выплачивать дивиденды регулярно, в противном случае модель Гордона неприменима. Более того, требование неизменности величины g означает, что компания направляет на выплату дивидендов всегда одну и ту же долю своего дохода.

Требование неизменности величин k и g вплоть до бесконечности ограничивает структуру капитала предприятия: считается, что единственным источником финансирования фирмы являются ее собственные средства, а внешние источники отсутствуют. Новый капитал поступает в компанию только за счет удерживаемой доли дохода, чем выше доля дивидендов в доходе предприятия, тем ниже уровень обновления капитала.

Применение модели Гордона в оценке бизнеса

При оценке бизнеса , при прогнозировании доходов, в связи с тем, что свободный денежный поток не подается прогнозированию более чем на несколько лет вперед, введены положения о природе изменения этих денежных потоков - предполагается оценка остаточной (терминальной) стоимости

бизнеса на дату окончания явно выраженного прогнозного периода.

Согласно модели Гордона производиться капитализация годового дохода постпрогнозного периода в показатель стоимости при помощи коэффициента капитализации, рассчитанного как разница между ставкой дисконтирования и долгосрочными темпами прироста (модель Гордона используется в рамках доходного подхода).

При отсутствии темпов роста коэффициент капитализации будет равен ставке дисконтирования.

Расчет конечной стоимости в соответствии с рассматриваемой моделью производится по следующей формуле:

Относительный размер терминальной стоимости увеличивается по мере уменьшений продолжительности прогнозного периода и становится весомой величиной по мере удаления горизонта прогноза. В зависимости от ставки дисконтирования для прогнозов свыше 10 лет терминальная стоимость становится гораздо менее существенным элементом.

Суть модели Гордона заключается в следующем: Стоимость компании на начало первого года постпрогнозного периода равна величине капитализированного дохода постпрогнозного периода (т.е. сумме стоимостей всех ежегодных будущих доходов в постпрогнозном периоде) .

При слишком высоких темпах прироста прибыли модель Гордона использовать нельзя, так как такие показатели возможны при значительных дополнительных инвестициях, которые эта формула не учитывает.

В практическом руководстве А. Грегори , эта модель, будучи модифицирована для расчета капитала, принимает следующий вид:

Чтобы найти текущую стоимость предприятия, надо эту терминальную стоимость дисконтировать по среднему WACC и прибавить к текущей стоимости всех показателей свободных денежных потоков за конкретный прогнозный период.

При использовании этой формулы важно понять, как используются разумные предположения о показателе g, долговременном (до бесконечности) темпе роста.

Модель Гордона может использовать историческую, текущую или прогнозируемую прибыль, и нередко последний показатель рассчитывается путем умножения прибыли, полученной в последний период, на ожидаемый долгосрочный темп роста, в этом случае формула примет вид:

Ограничения при использовании модели Гордона:

• темпы роста дохода компании должны быть стабильны;
• темпы роста дохода не могут быть выше ставки дисконтирования;
• капитальные вложения в постпрогнозном периоде должны быть равны амортизационным отчислениям (для случая, когда в качестве дохода выступает денежный поток).

Литература:

1. Астраханцева И.А. Учет и анализ: Учеб.пособие / ФГБОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина. - Иваново, 2014. - 344с.
2. Асаул А.Н. Основы бизнеса на рынке ценных бумаг: учебник / А.Н. Асаул, Н.А. Асаул, Р.А. Фалтинский; под ред. д-ра экон. наук, профессора А.Н. Асаула. - СПб.: АНО «ИПЭВ», 2008. - 207с.
3. Грегори А. Стратегическая оценка компаний (Практическое руководство) - М.: Квинто-Консалтинг, 2003. - 224 с.
4. Дворец Н.Н. Оценка стоимости предприятия (бизнеса): Учебно-методическое пособие. - М.: МАРТИТ, 2008. - 136 с.
5. Каллаур Н.А. Дивиденды организации // Экономико-правовой бюллетень. 2008. №12. - 160 с.

Моделью Гордона оценивают стоимость бизнеса и другие инвестиционные объекты. Автор модели – экономист М. Дж.Гордон. Сущность модели гордона определяется следующим образом: «Стоимость инвестиционного объекта в начале постпрогнозного периода будет равна сумме текущих стоимостей всех будущих величин ежегодных денежных потоков в постпрогнозном периоде». Таким образом, годовой доход капитализируется, формируя стоимость бизнеса. А рассчитывается как разница между ставкой дисконтирования и долгосрочными темпами роста.

Можно скачать пример работы формулы Гордона в Excel.

Гордоном было предложено упрощенное уравнение:

FV = CF(n+1) / (DR - t)

Для расчета формулы берутся следующие показатели:

• FV – стоимость объекта в постпрогнозном периоде;
• CF(n+1) – поток доходов на начало постпрогнозного периода;
• DR – ставка дисконтирования;
• t – долгосрочные темпы прироста потока доходов в остаточном периоде.

Особенность модели Гордона определяет бизнесу оценку

Особенность заключается в том, что при соблюдении определенных условий уравнение становится эквивалентом для общего уравнения дисконтирования потока денежных единиц. Для определения бизнесу текущей стоимости собственного капитала (FV) необходимо ожидаемые денежные потоки за определенный период (CF(n+1)) разделить на разницу между ставкой дисконтирования (DR) и темпом прироста (t). Гордону необходимо было найти решение для расчетов дивидендов, от того поначалу ее названием было «модель дивидендов». Данное уравнение является обобщенным. Разница DR – t еще трактуют нормой капитализации. Для примера, результат от деления 1/(DR – t) считается множителем (иными словами - коэффициентом) к доходу. Соответственно, весьма рационально модель Гордона считать совместимой с общей моделью оценки. Оценка бизнеса по данной модели определяется произведением доходов на коэффициент. Таким способом, обратившись к способу исчислений по формуле Гордона можно проанализировать информацию о запасе или бизнесе в целом. Иногда в литературе встречается термин модель РОСТА (это практически синоним). Ее расчеты прогнозов полезны и активно применяются как в управлении бизнесом, так и при его купли/продаже.

Майрон Гордон создал модель дисконтирования денежных потоков

К модели Гордона прибегают для обеспечения трудной к решению оценки, при налоговом планировании, при оценке акции с равномерным ростом дивиденда на фондовом рынке. Данную модель эффективно применять:

• если наблюдается объемность рынка сбыта;
• прослеживаются стабильные поставки сырья, материальных ресурсов для производства;
• существует долговечность применяемых технологий и оборудования, гарантия инновационных модернизаций;
• доступны денежные ресурсы на развитие предприятия;
• стабильна экономическая ситуация.

Майрон Дж. Гордон вывел такую модель еще в 1959. Однако, для выше упомянутой модели существуют и альтернативы в общем разрезе дисконтированных денежных потоков (DCF). Следует учитывать, что дивиденды могут выплачиваться только согласно результатов хозяйственной деятельности предприятия. Для этого крайне важно владеть достаточно достоверными данными для прогнозирования ожидаемых дивидендных выплат. Прогноз дивидендов – это крайне сложная задача, так как существуют различные хозяйственные риски (даже если предприятие получило высокую оценку за стабильность бизнеса). Были разработаны специальные приемы, которые позволяют с максимально возможной точностью сделать аппроксимацию будущих выплат по дивидендам. Только с такой оценкой формула будет рационально применима. Именно в модели Гордона используются предположения о стабильном темпе прироста дивидендных выплат. Такая модель является вариацией моделей дисконтирования дивидендов, а также способом определения цен на акции или оценить бизнес в целом. Например, внебиржевых компаний. Кстати, именно этот сегмент практически невозможно оценивать иными методами.

Моделью Гордона вычисляется прогноз роста денежного потока

Когда срок прогнозированного периода истекает, то предполагается, что уровень увеличения продаж и прибыли будет стабилен, а показатель износа равен показателю капиталовложений. Эта стоимость будет определяться с обязательным указанием ставки дисконта в процентном соотношении, темпами возрастания денежного оборота в соотношении процентов за годовой временной отрезок. Важно запомнить, что показатель стоимости по истечению спрогнозированного периода по формуле Гордона определяется только в конце прогнозного периода. Но если речь идет о первом годе в постпрогнозном периоде, то эти данные сводятся отдельно с обязательным влиянием роста потоков финансовых средств. Используют ту же ставку по дисконтированию.

Предложение – это модель реальности, которую нам представляют в процессе презентации.

Каждый инвестор, принимая решение об инвестировании капитала в акции, стремится оценить ценные бумаги с позиции возможной ожидаемой прибыли. В данном случае, под ожидаемой прибылью подразумевается цена акций через определенный промежуток времени, а также сумма дивидендов, которую в будущем сможет получить инвестор.

Одним из наиболее простых методов оценки акций является использование модели дисконтирования дивидендов. Согласно данной модели, цена акций равняется стоимости дивидендов в будущем, приведенной к данному временному периоду, то есть дисконтированной. Иными словами, спрогнозировав дивиденды на будущее и дисконтировав их, можно получить справедливую стоимость акций для текущего момента.

Исходя из полученной справедливой цены акций, инвестор может делать определенные выводы на данный момент. Так, к примеру, если справедливая стоимость акций превышает их цену на рынке, это свидетельствует о том, что акции недооценены.

Описание модели

Для проведения расчетов согласно данной модели, инвестору следует знать:

• размер текущих дивидендных выплат;
• темпы роста дивидендных выплат в будущем;
• размер ставки дисконтирования.

Модель дисконтирования дивидендов в математическом выражении выглядит следующим образом:

где Pо – справедливая цена акции;
k – размер ставки дисконтирования;
div – размер ожидаемых дивидендных выплат на одну акцию в определенном периоде.

Если инвестор рассчитывает на прирост дивидендных выплат в каждом из расчетных периодов, то вид данной формулы меняется следующим образом:

где div 0 – текущие дивиденды;
где g – ожидаемые темпы роста дивидендов.

При условии, что акционерное общество будет функционировать в течении неограниченного времени, данную формулу можно преобразовать в так называемую модель постоянного роста или формулу Гордона:

Как выбрать темп роста дивидендных выплат?

Суммы дивидендных выплат большинства компаний – это величина непостоянная, и, в случае ведения прибыльной деятельности акционерным обществом, дивиденды со временем будут возрастать.

Оценка темпов роста дивидендных выплат, как правило, проводится одним из способов:

• рассчитать среднее значение темпа роста за предыдущие временные периоды (важно соблюдение условия стабильности дивидендных выплат);
• вычислить, используя формулу:

где ROE – показатель рентабельности собственного капитала, который определяется как соотношение чистой прибыли к величине собственного капитала;
b – доля прибыли, которая остается в распоряжении акционерного общества после совершения дивидендных выплат, определяется как:

где EBIT – чистая прибыль компании;
D – сумма выплаченных дивидендов.

Как правило, часть прибыли, которая идет на дивидендные выплаты, указывается в дивидендной политике компаний. К примеру, такие компании, как Казаньоргсинтез и Нижнекамскнефтехим направляют на выплату дивидендов 30 % от чистой прибыли, а оставшиеся 70 % используют в целях собственного развития как реинвестируемую прибыль.

Как выбрать ставку дисконтирования?

Существует несколько способов вычисления ставки дисконтирования. По своей сути, данный показатель является ставкой требуемой доходности. Простыми словами, если инвестору нужно получить доходность от своих вложений в размере 10%, то он и берет эту ставку для проведения нужных расчетов.

Более взвешенным способом определения данной величины является использование модели CAPM, которая предусматривает расчет ставки дисконтирования следующим образом:

где R(f) – безрисковая ставка доходности, в качестве которой можно брать, к примеру, показатель доходности государственных облигаций;
β – коэффициент рыночного риска ценных бумаг, значение которого зависит от меры отклонения динамики акций от значения индекса (значения данного показателя представлено на официальных информационных инвестиционных порталах);
Risk Premium – премия за риск инвестирования в ценные бумаги, которая представляет собой величину разницы между доходностью рынка акций и уровнем доходности безрисковых инструментов.

Другой способ определения ставки дисконтирования – это кумулятивный метод. Согласно данному подходу, искомый показатель рассчитывается так:

где Rmin – минимальный показатель реальной ставки дисконтирования (чаще всего используется значение ставки долгосрочных государственных облигаций);
I – темп инфляции.

В целом, инвестор может принять для расчетов любой размер ставки доходности, исходя из собственных соображений, экспертных оценок либо же расчетных данных. При этом более высокая ставка влечет понижение результативного показателя справедливой цены акций.

Упрощения и ограничения модели

Эффективной данная модель может быть исключительно при выполнении определенных ограничений и предположений, а именно:

• превышение ставки дисконтирования над показателем темпов роста дивидендных выплат, так как в обратном случае стоимость акций будет неопределенной;
• направление компанией на дивидендные выплаты одинаковой части чистой прибыли в течении всего расчетного периода;
• одинаковая оценка инвестором рисков, связанных с акциями;
• регулярность дивидендных выплат акционерам;
• неизменность структуры капитала компании и темпов ее развития.

Учитывая ряд приведенных ограничений, можно утверждать, что данная модель наилучшим образом применима для тех компаний, у которых уже сложилась политика дивидендных выплат, а также для фирм со стабильным темпом роста и развития.

Практический пример применения модели

Более наглядно действие модели дисконтирования дивидендов можно проследить на конкретных примерах.

Казаньоргсинтез-П

Для начала следует остановиться на ситуации, при которой дивиденды в течении всего периода имеют неизменную величину, то есть, темп их роста равен нулю. В качестве примера можно рассмотреть привилегированные акции компании Казаньоргсинтез, по которым выплачиваются дивиденды в сумме 25 копеек.

МТС

Иная ситуация наблюдается при условии неизменных темпов роста дивидендных выплат и расчете на их стабильность в будущем. Так, компания МТС на данный момент находится на высоком уровне развития и в долгосрочном периоде не ожидается значительных рывков вверх. В таком случае, применима модель Гордона, согласно которой дивидендные выплаты стабильно поступают в течении неограниченного времени.

Предположительно, темп роста компании МТС составит около 5% в год, что примерно равняется среднему росту экономики в целом. Последние дивидендные выплаты компании на одну акцию составили 25,76 рубля.

Сначала следует вычислить размер дивидендной выплаты в следующем году по формуле:

Исходя из этого, справедливая цена акций компании МТС составляет.

(ДДП) описывает модель, основанную на предпосылке, что стоимость актива равна дисконтированной сумме потока доходов, генерируемых активом в течение периода владения (прогнозного периода) и дисконтированной стоимости реверсии, по которой предполагается продажа актива (для возврата инвестированного капитала) после окончания периода владения.

Модель Гордона принято использовать для расчета стоимости реверсии (терминальной стоимости) при использовании метода дисконтированных денежных потоков (ДДП) для определения стоимости неизнашиваемых активов . По своей сути формула модели Гордона представляет собой сумму бесконечного дисконтированного потока доходов. Расчетная зависимость имеет следующий вид:

Срев – стоимость реверсии;

ЧОД – чистый операционный доход;

Y – ставка дисконтирования;

g – темп изменения ЧОД;

m – номер начального периода;

Сокращенное обозначение формулы модели Гордона.

Для изнашиваемых активов, например объектов недвижимости, стоимость реверсии обычно принято определять другими методами. В качестве одного из вариантов расчета используется метод прямой капитализации ЧОД первого года постпрогнозного периода. Метод прямой капитализации (ПК) используется также в качестве самостоятельного метода для определения стоимости объектов недвижимости.

Однако в отличии от метода ДДП, метод ПК описывает другую модель владения объектом недвижимости. Этот метод предполагает, что инвестор вкладывая средства в недвижимость, владеет этим объектом до конца срока его жизни и при этом накапливает средства для последующего приобретения, после полного износа, аналогичного объекта недвижимости. То есть, тем самым сознательно уменьшает величину поступающих доходов на норму возврата капитала. Зависимость для метода ПК имеет следующий вид:

(2)

Со – стоимость объекта недвижимости;

R – коэффициент капитализации;

f – норма возврата капитала;

индекс 0 – соответствует дате оценки;

индекс 1 – соответствует первому прогнозному периоду.

Поскольку методы ПК и ДДП отражают несколько разные модели поведения инвесторов, то нет ничего удивительного в том, что при определенных исходных данных они могут давать разные результаты.

Что бы продемонстрировать правильность представленной выше описательной модели метода ПК, преобразуем зависимость (2) к следующему виду:

(3)

Отсюда:

Таким образом, мы получили классическую формулу расчета отдачи на вложенный капитал . Например, для случая кредитования - отношение годовых выплат процентов по кредиту к величине кредита.

Поскольку норма возврата капитала рассчитывается с учетом срока оставшейся экономической жизни объекта (срока владения капиталом), то из этого следует, что метод ПК построен на модели, которая предполагает, что инвестор после вложения капитала в актив будет владеть им до конца срока его экономической жизни, что подтверждает вышесказанное.

Справедливости ради следует отметить, что метод ДДП для неизнашиваемого актива в котором используется модель Гордона (поскольку не требуется возврат капитала) может так же рассматриваться как модель, которая предполагает бесконечное владение активом.

Зависимость (3) можно записать в следующем виде:

(4)

Если ЧОД = const (g = 0), первое слагаемое в зависимости (4) соответствует формуле модели Гордона при отсутствии изменения ЧОД. Следовательно, подставляя в (4) формулу (1) и преобразуя полученную зависимость, получаем:

(5)

Анализ зависимости (5) указывает на неожиданный, на первый взгляд, результат: изнашиваемый актив (имеющий конечный срок жизни) генерирует бесконечный поток доходов. Это можно объяснить следующим. Поскольку метод ПК предполагает возврат капитала к концу срока жизни актива, для приобретения аналогичного актива, то фактически модель, описываемая методом ПК, предполагает бесконечное владение периодически обновляемым активом с ограниченным сроком жизни.

Если ЧОД const (g 0), то в зависимости (5) следует использовать

Yо – ставка дисконтирования для метода ДДП.

Преобразуя зависимость (5) для этого случая, получаем:

Анализ зависимости (6) позволяет сделать вывод, что методы ПК и ДДП в общем случае не только отражают разные модели поведения инвестора, но и характеризуются разными ставками доходности, что вполне логично, так как разные сроки владения объектом предполагают разные риски.

Однако, то что ставка доходности для метода ПК при растущем ЧОД, меньше чем ставка дисконтирования для метода ДДП, на первый взгляд, представляется не совсем логичным, поскольку обычно, чем больше срок владения активом (срок жизни актива) тем выше, в общем случае, риск дефолта. Именно этим объясняется, например, что на фондовом рынке чем позже срок погашения облигации, тем выше ее доходность. Однако в случае с изнашиваемым активом, по-видимому, наблюдается обратный эффект, связанный с тем, что со временем по мере накопления фонда возмещения и снижения стоимости актива величина потерь в случае дефолта снижается. Следовательно, интегральная величина риска дефолта в этом случае ниже.

На самом деле мысль о том, что при использовании метода ПК, необходимо учитывать темп роста ЧОД не только в числителе, но в знаменателе высказывалась, например в . Однако отсутствие формулы в явном виде, привело к тому, что на практике обычно этот момент в расчетах не учитывался. По-видимому, в связи с этим результаты расчета методами ПК и ДДП при одинаковых исходных данных, в случае не постоянства ЧОД и одинаковых ставках доходности, отличались, иногда очень существенно, между собой. Причем результат метода ПК, при растущем ЧОД, всегда был ниже результата метода ДДП. Учет темпа роста ЧОД в знаменателе позволяет уменьшить это расхождение в результатах расчета. Но при этом различие в результатах может оставаться, ввиду изначальных различий в моделях. Зависимость (6), также может быть рекомендована для использования при капитализации ЧОД постпрогнозного периода в случае применения метода ДДП.

Заключение

Доказано, что модель Гордона, скорректированная на норму возврата капитала, может быть использована при определении стоимости объектов недвижимости и других изнашиваемых активов методами доходного подхода.

Показано, что ставка дисконтирования, используемая в методе дисконтированных денежных потоков, должна использоваться в методе прямой капитализации только в скорректированном виде.

Литература

1. Оценка бизнеса. Под ред. , . М.: Финансы и статистика, 2002

2. Анализ и оценка приносящей доход недвижимости. М.: Дело, 1995, стр. 74-75.

Примечание.

Первоначально была размещена на http://www. *****/default. aspx? SectionId=35&Id=2974

Когда инвестор покупает акцию он, как правило, ожидает получить два вида денежных потоков:

дивиденды за период владения,

ожидаемую цену на конец владения.

Для выяснения ожидаемых дивидендов делаются предположения относительно ожидаемых в будущем темпов роста доходов и коэффициентов выплат. Требуемая доходность акции зависит от ее риска. Разработано несколько моделей оценки риска и доходности (САРМ, индексные модели, арбитражные и факторные модели и др).

Дивидендная дисконтная модель (ДДМ) представляет собой инструмент оценки активов (внутренней стоимости акций компании) с целью выявления переоцененности или недооцененности последних. О

Дивидендная дисконтная модель (ДДМ) представляет собой инструмент оценки активов (внутренней стоимости акций компании) с целью выявления переоцененности или недооцененности последних.

Все дивидендные дисконтные модели можно разделить на две большие группы: детерминистические и стохастические. Первые отражают традиционный подход к оценке приведенной стоимости, в соответствии с которым предполагается, что поток будущих дивидендных выплат – вполне определенная величина. Второй же подход был предложен сравнительно недавно. В рамках него будущий поток дивидендов рассматривается как неопределенный. Это важное допущение, так как в таком случае появляется возможность построить вероятностное распределение случайной величины приведенной стоимости, а, следовательно, найти тот доверительный интервал, который позволит определить значимость полученного результата. В этом состоит основное преимущество стохастических дивидендных моделей. Ведь получив какой-либо результат, трудно сказать, насколько можно ему доверять, и стоит ли инвестору опираться на него в своих дальнейших действиях, предполагая, что акции компании являются и действительно недооцененными или наоборот. Таким образом, такого рода модели приобретают важное значение для процесса принятия инвестиционных решений.

Детерминистические ДДМ.

Как уже упоминалось выше, основа всех ДДМ – применение метода дисконтированной стоимости, который подразумевает, что справедливая цена актива представляет собой приведенную стоимость ожидаемых в будущем денежных потоков (в случае с акциями – это дивидендные выплаты, которые будут осуществлены). Базовая модель имеет вид

, (4.99)

где Р - теоретическая цена акции;

D t -ожидаемый размер дивиденда, который будет выплачен в периоде t ;

r t -ставка дисконтирования, которая соответствует уровню риска инвестирования в акции данной компании.

Базовая модель рассматривает бесконечный поток дивидендов, что делает невозможным подсчет стоимости Р . В связи с этим необходимо сделать ряд допущений, в частности, о конечности дивидендных выплат. В таком случае оценивается поток дивидендов за конечный период времени (скажем, N лет), а также дисконтируется некая оценка будущей цены акции, которая характеризует собой приведенный поток дивидендов постпрогнозного периода. Уравнение (4.99) приобретает тогда следующий вид:

где P N -ожидаемая цена акции в конце периода N, когда планируется ее продажа.

При таком допущении очевидно становиться возможным оценить поток будущих дивидендов, так как рассматривается разумный временной горизонт. Однако, встает вопрос об оценке этой будущей стоимости. Также неопределенным остается то, как учесть изменяющиеся во времени ставки дисконтирования.

Следующим допущением является предположение о постоянности величины ставки дисконта. В данном случае ставка дисконта r просто будет рассматриваться как некая средневзвешенная всех ставок за период (такой подход весьма распространен, например, подсчет доходности облигаций YTM). Любые неточности, вызванные подобным допущением, являются минимальными по сравнению с ошибками, которые могут иметь место при попытках оценить все будущие ставки дисконта. С учетом этого уравнение (4.100) будет иметь следующий вид:

Теперь для подсчета приведенной стоимости необходимо спрогнозировать или определить следующие исходные параметры:

ожидаемая конечная цена (будущая стоимость) (P N );

ожидаемый поток дивидендов за N лет (D 1 - D N );

ставка дисконта (r ).

Самым сложным является оценка будущей стоимости. Она представляет собой приведенную стоимость всех будущих дивидендных выплат. На практике обычно эта величина прогнозируется исходя из дивидендов или доходов компании, а затем уточняется исходя из требований о доходности, коэффициента цена/доходы и нормы капитализации. Необходимо также иметь в виду, что Р будет ничтожно мала и ею можно будет пренебречь в случае, когда N очень большое. Что касается ставки дисконта, то ее обычно определяют из модели оценки активов САРМ, рассмотренной выше.

Следующей вариацией ДДМ является детерминистическая модель постоянного роста . В рамках этой модели предполагается, что темпы роста дивидендов на протяжении всей жизни акции – постоянны. В свою очередь, данная модель предполагает еще два варианта: аддитивную модель роста (рост в арифметической прогрессии) и модель геометрического роста.

Аддитивная модель постоянного роста:

, (4.102)

где d - прирост в размере дивиденда.

Модель геометрического роста имеет следующий вид:

где g - предполагаемый темп прироста дивиденда, r – стоимость привлечения собственного капитала. При этом если N стремиться к бесконечности, то получаем:

(4.104)

Эта модель также известна как модель Гордона. Если же выразить дивиденд следующего периода через текущий, то получим:

(4.105)

Модель Гордона более всего подходит к фирмам с темпами роста равным темпу роста экономики или ниже и с уставившейся практикой выплаты дивидендов

определение темпов роста на основе фундаментальных показателей,

исторические темпы роста,

оценка фондовыми аналитиками.

Методы оценки исторического роста. Для оценки исторического роста применяются модели арифметического и геометрического среднего, модели лог - линейной регрессии, модели временных рядов (авторегрессионная модель скользящего среднего ARIMA- (Autoregressive integrated moving average)), оценка аналитиками. Аналитики используют различного вида информацию о фирме. В ряде случаев их прогнозы лучше, чем на основе исторических данных.

Пример 11. Найти стоимость акции, если имеются следующие данные.

Прибыль на акцию в 2000 г. Равна 3, 13 (EPS).

Коэффициент выплат дивидендов ()=69,97% (PR).

Дивиденды на акцию равны 2, 19 ().

Доход на собственный капитал равен 11,635 (ROE).

Стоимость привлечения собственного капитала определяется по модели CAPM. Пусть в нашем случае она равна =9%.

Решение. Цена по модели Гордона равна
.

Найдем g ожидаемые темпы роста .

Цена акции (или стоимость собственного капитала) равна
.

Если акции в день проведения анализа продавались по цене 36,59, то их можно считать недооцененными.

Пример 12 . Инвестиционные фонды REIT созданные в 1970 году согласно закону имеют право инвестировать в недвижимость и передавать инвесторам прибыль, свободную от налогообложения. В 2000г фонд выплатил дивиденды в размере 2,12 на акции при прибыли на акцию в $22,22. Найти стоимость акции, если средний коэффициент бета для инвестиционных фондов недвижимости равен 0,69, безриcковая процентная ставка равна 5,4%, а премия за риск равна 4%.

Решение. EPS = $22,22; ROE = 12,29%; D 0 = 2,12$; = 8,16%. Найдем коэффициент выплаты дивидендовPR = D 0 /EPS = 2,12/22,22 = 0,95. Стоимость привлеченного капитала по САРМ равна = 5,4 + 4* 0,69 = 8,16%. Ожидаемые темпы роста равны g = (1- 0,95)*12,29 = 0,55 %.

Стоимость акции равна
= 2,12*(1+0,55)/(8,16- 0,55) = 28,03$. Если 14 мая 2001 года акции фонда продавались по цене 36, 57$, следовательно акции были значительно переоцененными.

Для расчетов стоимости акции по однофазной модели надо знать

Двухфазная модель.

В случае долгосрочных инвестиций используют модели, которые пытаются учесть жизненный цикл акции. Самой простой формой таких моделей является двухфазная модель , в рамках который рассматривается период ускоренного роста дивидендов и фаза стабильных темпов роста. Эта модель исходит из того, что высокие темпы роста могут наблюдаться лишь в ограниченном периоде времени, после которого компания входит в фазу более стабильного развития. Такая модель может быть описана так:

, (4.106)

где
. Первый член уравнения показывает соответственно размер всех дивидендных выплат, осуществленных в период высоких темпов роста, тогда как второй - за период, начиная с N+1 и до бесконечности. Исключительные темпы роста -и стабильный рост.

Применение двухфазной модели.

Двухфазная модель применяется для фирм имеющих период быстрого роста. Например, компания получившая патент, фирма работает в отрасли, переживающей период быстрого роста, при этом существуют барьеры для входа на рынок для других фирм. Пример компанииProcter&Gamble. 12 Для фирм, выплачивающих дивиденды как остатки денежных потоков (оставшиеся после выплаты долга, реинвестирования).

Модель Н – двухфазная модель .

В этой модели предполагается, что темпы роста линейно падают.

Пример 13 . Двухфазная модель для P&G. Компания сталкивается с двумя проблемами. Насыщение рынка США, где компания получает половину доходов. Рост конкуренции. Но предположим, что компания будет расти в течении следующих 5 лет за счет освоения новых рынков и введения новой продукции. Компания выплачивает высокие дивиденды, и не накопила за прошлое десятилетние значительных объемов денежных средств. Данные для расчетов приведены ниже.

Стоимость собственного капитала = 5,4 + 0,85*4 = 8,8%.

Расчет ожидаемого роста можно провести по одной из моделей G = КНП *ROE * (1- PR).

КПН – коэффициент нераспределенной прибыли, который в данном случае примем равным 25% g = (1- 0,4567)*0,25 = 13,58%. По оценкам коэффициент бета поднимется до 1, стоимость собственного капитала равна = 5,4 + 4*1 = 9,4%.

Пусть темпы роста компании будут равны темпам роста экономики 5%, а доход на собственный капитал снизится до 15% ниже, чем по отрасли 17,4%.

КНП = g/ROE = 5/15 = 33,33%. Коэффициент выплат дивидендов равен 1- 0,3333= 0,6666.

(4.107).

Первая часть формулы – это приведенная стоимость дивидендов, которая равна

7,81$.

Вторая часть – это приведенная стоимость дивидендов во второй фазе

59,18$

Стоимость акции равна P= 7,81+59,18 = 66,99$.

Утверждается, что на момент проведения анализа 14.05.2000 акции P&G продавались по цене 63,90$, следовательно акции продаются с дисконтом.

Трехфазная модель.

Более сложной вариацией этой модели является трехфазная модель , в рамках которой рассматривается еще и так называемая переходная фаза. Она исходит из того, что развитие компании носит скорее поступательный нежели скачкообразный характер, а потому между фазами высоких и стабильных темпов роста можно выделить еще и переходный период. Модель в этом случае имеет вид:

Рис. 4.16. Трехфазная модель.

,

В зависимости от компании продолжительность данных стадий, естественно, будет варьироваться. Так, молодые, быстро развивающиеся компании будут характеризоваться более продолжительной по сравнению со зрелыми компаниями фазой роста. Интересно, что, в соответствии с имеющимися данными, в среднем на стадию роста и переходную фазу приходится до 25% ожидаемых доходов, тогда как на стадию зрелости до 50%. Однако, это тоже зависит от политики компании. Так, компания с высокими темпами роста и низкими дивидендными выплатами как бы переносит относительный вклад на стадию зрелости, тогда как компании с обратной ситуацией – на стадию роста и переходную фазу.

Эта модель известна еще как Е-модель (E-earnings-доходы). Трехфазовая модель роста широко применяется инвесторами, поскольку позволяет получить вполне адекватные результаты. Так, например, она используется Salomon Brothers.

Стохастические дивидендные дисконтные модели

Стохастические дивидендным дисконтные модели предполагают, что поток будущих дивидендных выплат подчиняется стохастическому процессу, исходя из чего и находится приведенная стоимость. При этом рассматриваются процессы с характеристиками марковсокого движения, которое хорошо подходит для временных выплат типа дивидендов. Для процесса оценки неважна общая история – значение имеют лишь текущая величина дивиденда и вероятностный путь дальнейшего развития данного неопределенного процесса. Марковское же движение как раз и характеризуется тем, что не учитывает предыдущей истории. Данные модели делятся на два типа: биномиальные (предполагающие два исхода) и триномиальные (соответственно –3 возможных исхода).

Биномиальные модели предполагают, что дивидендные выплаты либо сохранятся на прежнем уровне, либо изменятся (при этом рассматривается изменение в какую-либо одну сторону - обычно повышения- но ни то и другое сразу). В свою очередь, они подразделяются на аддитивные и геометрические модели роста.

Аддитивная стохастическая модель роста имеет следующий вид:

с вероятностью увеличится

с вероятностью
не изменится

где: d – прирост дивиденда в денежной форме;

p – вероятность, что дивиденд возрастет

(4.109)

Необходимо отметить, что данная модель также непременима для ситуации, когда темп роста дивидендов не является постоянным.

Следует учитывать, что всегда существует вероятность банкротства компании. С учетом этого можно рассчитать некий более низкий уровень цены:

с вероятностью р

D t +1 = с вероятностью

0 с вероятностью

где p B - вероятность банкротства.

(4.110)

Геометрическая же модель выглядит следующим образом:

D t (1+ g ) с вероятностью р

D t +1 = D t с вероятностью (1-р)

(4.111)

Весьма важным является тот факт, что в отличии от всех предыдущих моделей, эта модель может быть более-менее удачно использована в ситуации изменчивых темпов роста дивидендов. Здесь также можно определить более низкий уровень цены с учетом вероятности банкротства компании:

(4.112)

И, наконец, рассмотрим триномиальную стохастическую модель, которая еще известна как обобщенная модель марковского роста. Для компаний является вполне естественным время от времени сокращать размер дивидендных выплат. Данная модель как раз позволяет учесть подобный вариант развития ситуации. Она, таким образом, предполагает три возможных исхода: дивиденды растут, падают, не изменяются.

Здесь также возможно два варианта роста: в арифметической и в геометрической прогрессиях.

Аддитивная версия данной модели имеет следующий вид:

D t + d с вероятностью р U

D t +1 = D t - d с вероятностью р D

D t с вероятностью (1-р U -р D )

где: р U -вероятность того, что дивиденд возрастет; р D - вероятность падения дивиденда.

(4.113)

Вполне очевидно, что если вероятность сокращения размера дивидендных выплат равна нулю, то модель автоматически преобразуется в уравнение, характеризующее соответствующую биномиальную модель.

С учетом вероятности банкротства имеем:

Рассмотрим геометрическая модель:

D t (1+ g ) с вероятностью р U

D t +1 = D t (1- g ) с вероятностью р D

D t с вероятностью (1-р U -р D )

(4.115)

И также с учетом возможного банкротства компании:

(4.116)

Согласно проводимым «испытаниям» данных моделей триномиальные модели дают более правильные результаты оценки по сравнению с биномиальными. Что же касается выбора между использованием аддитивных или же геометрических моделей, то здесь не наблюдалось каких-либо преимуществ – оба типа являются равноправными, так как для одних компаний более адекватные результаты были получены с применением первых, а для других больше подходили геометрические модели.

Главным преимуществом стохастических ДДМ является возможность построения распределения величины Р, так как она представляет собой случайную величину. Это дает возможность оценить, насколько значим полученный путем применения ДДМ результат. Однако, весьма сложно определить тип распределения этой приведенной стоимости, и тем более, его параметры (дисперсия и т.д.). Обычно, чтобы сгенерировать данное распределение и оценки его параметров используется метод симуляции Монте-Карло. Иногда, правда, отталкиваются от предположения, что распределение является нормальным. В этом случае представляется возможным рассчитать основные характеристики распределения. Результаты порой бывают вполне удовлетворительными и совпадают с теми, что получаются по методу Монте - Карло, однако такое предположение не является обоснованным, поэтому все же наилучшим вариантом является использование вышеуказанного метода.

Несмотря на то, что применение стохастических моделей еще не получило достаточного применения на практике, они дают более удовлетворительные результаты, а также позволяют сделать вывод об статистической значимости моделей

Общим же недостатком ДДМ является, прежде всего, проблема оценки исходных (необходимых для расчета) данных – как более точно определить, например, конечную цену? Вопрос остается открытым. Во-вторых, надо понимать, что ДДМ говорят лишь об относительной стоимости акций, но не дают никакой информации о том, когда можно ожидать начало движения рыночной цены акции к ее теоретической/внутренней стоимости. А значит, можно купить акции некой компании, решив на основе проведенного анализа, что они являются недооцененными, и прождать весьма неопределенный период времени, прежде чем они войдут в цену. Но это уже другой вопрос, касающийся скорее инвестиционной стратегии.

Вообще же, ДДМ являются весьма популярным среди инвесторов инструментом, поскольку, являясь беспристрастными к влиянию рынка, позволяют получить достаточно достоверные оценки внутренней стоимости компании. Однако, еще более достоверные результаты можно получить, если использовать их наряду, например, с факторными моделями.

Критика модели. Модель дает слишком консервативную оценку стоимости. Модель не включает других способов отдачи денег акционерам. Но это возможно сделать в модифицированной версии модели.

Проверки модели дисконтирования. Проверка модели заключается в ее возможности предсказывать переоцененные и недооцененные акции. Результаты исследования показывают, что в долгосрочном периоде модель дает избыточную доходность.