Основные понятия и определения финансовой математики:

Проценты – доход от предоставления капитала в долг в различной форме (ссуды, кредиты и т.д.), либо от инвестиций производственного или финансового характера.

Первоначальная денежная сумма (настоящая, современная, текущая, приведенная) – величина капитала, имеющегося на начальный момент времени (или величина капитала, вкладываемого в рассматриваемую операцию).

Процентная ставка – величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.

Наращение (компаудинг) – увеличение первоначальной денежной суммы за счет присоединения начисленных процентов.

Наращенная (будущая) денежная сумма – первоначальная денежная сумма вместе с начисленными процентами.

Дисконтирование – определение текущего финансового эквивалента будущей денежной суммы (приведение будущей денежной суммы к настоящему моменту времени).

Коэффициент наращения – величина, показывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Период начисления – период времени, в течение которого начисляются проценты. Он может выражаться в днях или в годах, являться как целым, так и нецелым числом.

Интервал начисления – минимальный промежуток времени, по прошествии которого начисляются проценты. Период начисления может состоять из одного или нескольких равных интервалов начисления.

Временная база для расчета процентов Т - количество дней в году, которое берется для расчета процентов. В зависимости от способа определения продолжительности финансовой операции, рассчитывается либо точный, либо обыкновенный процент.

Возможны следующие варианты:

Существует несколько способов начисления процентов и, соответственно, несколько видов процентных ставок. В зависимости от применяемого способа начисления финансовые результаты могут достаточно сильно различаться. При этом разница будет тем больше, чем больше вкладываемый капитал, применяемая процентная ставка и продолжительность периода начисления.

Общее представление о различных способах начисления процентов дает следующая схема:

Наиболее распространенным является декурсивный способ начисления процентов. При таком способе проценты I начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала P . Декурсивная процентная ставка (ссудный процент) i представляет собой выраженное в процентах отношение начисленного за данный интервал дохода (процентов) к сумме, имеющейся на начало этого интервала. Величина процентной ставки характеризует интенсивность начисления процентов.

Данной операции наращения соответствует следующее математическое выражение:

S = P + I = P + i P = P (1 + i )

Обратной данной операции является операция дисконтирования , т.е. определения текущей величины P, эквивалентной будущей сумме S:

P = S / (1 + i )

С точки зрения концепции временной стоимости денег при данной процентной ставке суммы P иS эквивалентны, можно также сказать, что сумма P является текущим финансовым эквивалентом будущей суммы S .

При антисипативном (предварительном) способе проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из величины будущей денежной суммы. Антисипативной процентной ставкой (учетной ставкой) d будет выраженное в процентах отношение суммы начисленного дохода к будущей денежной сумме.

В этом случае формула для определения величины наращенной суммы имеет следующий вид:

S = P + I = P / (1 - d )

Соответственно, для операции дисконтирования, называемой в этом случае банковский учет:

P = S (1 - d )

На практике антисипативные процентные ставки применяются обычно при учете векселей. Полученный в этом случае процентный доход называют дисконтом – скидкой с будущей суммы.

При обоих способах начисления процентные ставки могут быть простыми , если они применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления, и сложными , если по прошествии каждого интервала они применяются к сумме первоначального капитала и начисленных за предыдущие интервалы процентов.

Формулы определения будущей денежной суммы при различных вариантах начисления процентов за период n лет:

S = P (1 + n i ) - для случая простых декурсивных процентов

S = P (1 + i ) n - для случая сложных декурсивных процентов

S = P / (1 - n d ) - для случая простых антисипативных процентов

S = P / (1 - d ) n - для случая сложных антисипативных процентов

Если период начисления выражен в днях, формулы простых процентов примут вид:

S = P (1 + t/T i)

S = P / (1 – t/T d),

где t – продолжительность периода начисления.

Множители, показывающие, во сколько раз будущая денежная сумма больше величины первоначального капитала, называются коэффициентами наращения. Обратными к коэффициентам наращения являются коэффициенты дисконтирования , позволяющие определить текущий финансовый эквивалент будущей денежной суммы.

В некоторых случаях при анализе эффективности различных финансовых операций бывает полезно определять эквивалентные процентные ставки. Эквивалентные процентные ставки – это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты. Под одинаковыми начальными условиями в данном случае подразумеваются одна и та же величина первоначального капитала и равные периоды начисления дохода. Исходя из этого, можно составить уравнение эквивалентности и вывести соотношение для рассматриваемых ставок.

Например, для простых ссудной и учетной ставок такие соотношения будут выглядеть следующим образом:

d = i / (1 + n i ); i = d / (1 - n d ).

Ссудная ставка, эквивалентная учетной отражает доходность соответствующей операции учета и полезна при сравнении доходности и эффективности различных финансовых инструментов.

Учет инфляции в финансовых расчетах

Инфляция характеризуется снижением покупательной способности национальной валюты и общим повышением цен. На различных участников финансовой операции инфляционный процесс действует неодинаково. Так, если кредитор или инвестор могут потерять часть планируемого дохода за счет обесценения денежных средств, то заемщик получает возможность погасить задолженность деньгами сниженной покупательной способности.

Во избежание ошибок и потерь инфляционное влияние должно учитываться при планировании финансовых операций.

Обозначим через S a сумму, покупательная способность которой с учетом инфляции равна покупательной способности суммы S в отсутствие инфляции. Уровнем инфляции a называется отношение между инфляционным изменением некоторой величины за определенный период и ее первоначальным значением, выраженное в процентах (в расчетах используется относительный показатель):

a = (S a - S) / S 100%

Отсюда: S a = S (1 + a)

Это означает, что при уровне инфляции a, цены вырастают за период в (1 + a) раз. Множитель (1 + a) называется индексом инфляции I a .

Если рассматриваемый период состоит из нескольких интервалов, на каждом из которых уровень инфляции составляет величину a, цены в целом вырастут в (1 + a) n раз. Общий итог выражается следующим соотношением:

S a = S (1 + a ) n

Отсюда следует первый важный вывод, касающийся инфляционного процесса:

Инфляционный рост аналогично наращению первоначального капитала по правилу сложных процентов. Только в этом случае мы не получаем доход, а теряем его.

Еще одно полезное соображение касается расчета ставки доходности, которая могла бы компенсировать инфляционные потери и обеспечить прирост капитала.

Пусть a - годовой уровень инфляции,

i – желаемая доходность финансовой операции (очищенная от влияния инфляции)

i a - ставка доходности компенсирующая инфляцию.

Тогда для наращенной суммы S, которая в условиях инфляции превратится в сумму S a , можно записать следующее выражение:

S a = P (1 + i) (1 + a)

Тот же результат может быть получен и другим способом:

S a = P (1 + i a)

Приравнивая правые части записанных равенств получим выражение для расчета i a:

i a = i + a + i a

Это известная формула И. Фишера, в которой величина (a + i a) является «инфляционной премией» - необходимой добавкой, компенсирующей влияние инфляции.

Теперь можно сформулировать второй важный вывод:

Для расчета процентной ставки, компенсирующей инфляцию, к требуемой норме доходности необходимо прибавить не только величину уровня инфляции, но и произведение i a .

В реальной практике часто оказывается полезной модификация данной формулы, позволяющая найти реальную доходность операции в условиях инфляционного повышения цен:

i = (i a - a ) / (1 + a )

Большинство операций, связанных с вложением капитала, подразумевает в будущем не единовременное получение наращенной суммы, а целый денежный поток доходов в течение определенного периода. Основными параметрами, интересующими в этом случае инвестора или кредитора, являются современная (приведенная) стоимость денежного потока, его будущая (наращенная) величина, а также доходность финансовой операции.

Будем использовать следующие обозначения:

P – величина вложенного капитала,

CF k – величина k- го элемента денежного потока,

i – ставка дисконтирования (обычно - сложная ставка ссудного процента),

А – приведенная стоимость (стоимость) денежного потока,

S – будущая стоимость денежного потока,

n – число элементов денежного потока.

Приведенной стоимостью денежного потока называется сумма всех его элементов приведенных (дисконтированных) к настоящему моменту времени:

А = CF 1 / (1 + i) + CF 2 / (1 + i)? + … + CF n / (1 + i) n

Аналогично, будущая стоимость денежного потока, это сумма его наращенных элементов на момент последней выплаты:

S = CF 1 (1 + i) n-1 + CF 2 (1 + i) n- ? + … + CF n

Доходностью финансовой операции называется такая декурсивная процентная ставка, при дисконтировании по которой приведенная стоимость денежного потока доходов совпадает с величиной вложенного капитала: P = A. Для нахождения такой ставки в общем случае приходится решать уравнение n – ой степени .

Значения коэффициентов наращения и дисконтирования в случае использования сложных декурсивных ставок можно найти в специальных таблицах, приведенных в приложении.

Для определения доходности краткосрочной финансовой операции (менее одного года) обычно используется простая ставка ссудного процента, для долгосрочной операции – сложная.

Тема: Математические основы финансового менеджмента

Вопросы:

Способы начисления процентов

Сущность простых и сложных процентов

Методы оценки аннуитетов

Ответы:

1.Способы начисления процентов

Процента – это доход от предоставления капитала в долг в различных формах либо от инвестиций производственного или финансового характера.

Наращение первоначальной суммы долга – это увеличение суммы долга за счёт присоединения начисленных процентов (дохода).

Коэффициент наращения – это величина, показывающая во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Период начисления – это промежуток времени, за который начисляются проценты.

Существует 2 способа определения и начисления процентов:

Дискурсивный способ начисления процентов – проценты начисляются в конце каждого интервала, хи величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала, дискурсивная процентная ставка представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного, за определённый интервал, дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.

Антисипотивный способ начисления процентов – проценты начисляются в начале каждого интервала, сумма процентных денег определяется исходя из наращенной сумме. Процентной ставкой будет, выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определённый период к величине наращённое суммы, полученной по прошествии этого интервала.

В мировой практике дискурсивный способ наращения процентов получил наибольшее распространение, а антисипотивный способ наращения процентов рассматривается как банковское дисконтирования или банковский учёт векселей, и обычно применяется в периоды высоких темпов инфляции.

2.Сущность простых и сложных процентов

Известны 2 основные схемы дискретного начисления процентов:

Схема простых процентов предполагает неизменность базы с которой происходит исчисление. Процесс дисконтирования по схеме простых процентов определяется по формуле:

Схема сложных процентов предполагает изменность за счёт капитализации процентов начисленных но не выплаченных к основной сумме. Наращение сложных процентов:

Мультиплицирующий множитель в процессе наращения для определения бедующей стоимости, его значения табулированы.

Процесс в котором заданы исходная сумма и ставка называется процессом наращения, искомая величина – наращенной суммой, а используемая в операции ставка – ставкой наращения.

Процесс в котором заданы ожидаемая в будущем к получению сумма и ставка называется процессом дисконтирования , искомая величина – приведённой суммой , а используемая в операции ставка – ставкой дисконтирования.

Процесс дисконтирования по простым процента осуществляется по формуле:

Процесс дисконтирования по схеме сложных процентов осуществляется по формуле:

Дисконтирующий множитель ля определения настоящей суммы, его значения табулированы.

4.Методы оценки аннуитетов

Поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течении определённого количества лет называется аннуитетом (финансовой рентой).

Примеры аннуитетов: пенсионный фонд, погашение заёмщиком кредита.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения задач:

Прямой – т.е. производится оценка с позиции будущего и реализуется схема наращения (Схема наращения аннуитета постнумерандо.

А-сумма аннуитета

FM3(i;n) – мультиплицирующий множитель для аннуитета в процессе наращения, значения так же табулированы

Схема наращения для аннуитета пренумеранда реализуется по формуле

FV=A*FM3(i;n)*(1+i)

Обратной, т.е. проводится оценка с позиции настоящего, реализуется схема дисконтирования.

Процесс дисконтирования для аннуитета постнумеранда осуществляется по формуле

A*FM4(i;n) –дисконтирующий множитель для аннуитета, его значения так же табулированы.

Процент дисконтирования для пренумерендо: =A*FM4(i;n)*(1+i)

Большинство хозяйственных операций (приобретение основных средств, покупка/продажа ценных бумаг, лизинг, получение/погашение банковских кредитов, анализ инвестиционных проектов и др.) порождают денежные потоки. Осуществление этих операций сопровождается множеством выплат и поступлений денежных средств, образуя денежный поток, распределенный во времени.

В связи с этим в процессе управления финансами предприятия возникает необходимость в проведении специальных расчетов, связанных с движением денежных потоков в различные периоды времени. Ключевую роль в этих расчетах играет оценка стоимости денег во времени. Концепция такой оценки базируется на том, что стоимость денег с течением времени изменяется с учетом нормы прибыли, сложившейся на финансовом рынке, в качестве которой выступает ставка ссудного процента или норма доходности по государственным ценным бумагам.

Из принципа временной стоимости денег (Time Value of Money, TVM) вытекает два важных следствия:

• необходимость учета фактора времени, в особенности при проведении долгосрочных финансовых операций;

• некорректность суммирования денежных величин, относящихся к разным периодам времени.

Рассмотрим отдельные элементы методического инструментария стоимости денег.

Процент — сумма дохода от предоставления капитала в долг или плата за пользование ссудным капиталом во всех его формах (депозитный и кредитный процент, по облигациям и векселям).

Простой процент — сумма дохода, начисляемого к основной сумме капитала в каждом интервале, по которой дальнейшие расчеты не производят.

Сложный процент — сумма дохода, начисляемого в каждом интервале, которую не выплачивают, а присоединяют к основной сумме капитала (вклада) в последующем платежном периоде.

Процентная ставка — удельный показатель, в соответствии с которым в установленные сроки выплачивают сумму процентов в расчете на единицу капитала (вклада). На практике процентная ставка выражает соотношение годовой суммы процентного дохода к объему основного долга.

Будущая стоимость денег (Future Value, FV) — сумма вложенных в настоящий момент денежных средств, в которую они превратятся через определенный период времени с учетом выбранной процентной ставки.

Настоящая стоимость денег (Present Value, PV) — сумма будущих денежных средств (вклада), приведенных с учетом конкретной процентной ставки к настоящему моменту времени.

Наращение стоимости (компаундинг — compounding) — процесс пересчета настоящей стоимости денежных средств (вклада) в их будущую стоимость в конкретном периоде времени путем добавления к первоначальной сумме начисленной величины процента.

Дисконтирование стоимости (discounting) — процесс приведения будущей стоимости денежных средств (вклада) к их настоящей стоимости путем исключения из будущей суммы соответствующей величины процента (дисконта). Посредством такой финансовой операции достигают сопоставимости текущей стоимости предстоящих денежных потоков.

Период начисления — общий период времени, в течение которого осуществляют процесс наращения или дисконтирования денежной суммы (вклада).

Интервал начисления - это минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Декурсивный способ начисления процентов — способ, при котором проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала. Соответственно, декурсивная процентная ставка представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.

Антисипативный способ (предварительный) начисления процентов — это способ, при котором проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентной ставкой будет выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определенный интервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала. Определяемая таким способом процентная ставка называется учетной ставкой, или антисипативным процентом.

Наращение по простым процентам

Простые проценты используются в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше года или равен ему.

Наращение по годовой ставке простых процентов осуществляется по формуле:

FV = PV(1 + r × n), (1)

где FV — будущая стоимость;

PV — первоначальная стоимость;

n — число периодов (лет);

r — процентная ставка.

Пример 1

Клиент сделал вклад в банк в сумме 10 000 руб. под 12 % годовых сроком на пять лет. По формуле (1) находим:

FV = 10 000(1 + 0,12 × 5) = 16 000 руб.

Сумма начисленных процентов составит 6000 руб. (16 000 - 10 000).

Если продолжительность краткосрочной операции выражена в днях, то срок ее проведения корректируется следующим образом:

где t — число дней проведения операции;

В — временная база (число календарных дней в году).

Тогда будущую стоимость операции можно определить:

Время вклада (ссуды) может вычисляться или с учетом точного числа в месяцах, или при допущении, что расчетная продолжительность любого месяца равна 30 дням.

В результате конкретные расчеты по начислению процентов могут вестись по трем вариантам:

365/365 — точное число дней проведения операции и фактическое число дней в году (точные проценты);

365/360 — точное число дней проведения операции и финансовый год (12 месяцев по 30 дней);

360/360 — приближенное число дней проведения операции (месяц принимается равным 30 дням) и финансовый год (обыкновенные проценты).

Для одних и тех же условий начисления процентов проведение расчетов по этим вариантам приводит к несколько отличающимся финансовым последствиям.

Пример 2

Акционерное общество получило в банке ссуду в размере 200 тыс. руб. под 15% годовых на срок с 15 февраля до 15 апреля. Определить сумму, которую необходимо возвратить банку.

Сначала нужно определить число дней использования ссуды: 15 февраля - 46-й день в году, 15 апреля - 105-й день в году. Отсюда точный срок ссуды - 59 дней. Тогда, по формуле (3) находим:

Дисконтирование по простым процентам

Существует два способа дисконтирования.

Математическое дисконтирование — способ, основанный на решении задачи, обратной определению будущей стоимости. При проведении расчетов здесь используется процентная ставка.

С учетом принятых ранее обозначений формула дисконтирования по ставке r будет иметь вид:

(4)

Доход банка (FV - PV) называют дисконтом, а используемую норму приведения r — декурсивной ставкой процентов.

Пример 3

Какую цену заплатит инвестор за бескупонную облигацию, номинальная стоимость которой 500 тыс. руб., а срок погашения — 270 дней, если требуемая норма доходности — 20 %?

По формуле (4) при использовании обыкновенных процентов:

PV = 500 / (1 + 0,2 × 270 / 360) = 434,78 тыс. руб.;

точных процентов:

PV = 500 / (1 + 0,2 × 270 / 365) = 435,56 тыс. руб.

Банковское дисконтирование применяется при банковском учете векселей, при этом проценты начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока операции. При проведении расчетов используется учетная ставка d:

(5)

При дисконтировании по учетной ставке чаще всего используют временную базу 360/360 или 360/365. Используемую при этом норму приведения d называют антисипативной ставкой процентов.

Пример 4

Простой вексель на сумму 500 тыс. руб. со сроком погашения один год учитывается в банке через 270 дней по простой учетной ставке 20 %. Какую сумму получит владелец векселя?

Используем формулу (5), учитывая, что n — это разность во времени между моментом учета и сроком погашения векселя:

PV = 500 (1 - 0,2 × 90 / 360) = 475 тыс. руб.

Применение двух рассмотренных методов дисконтирования к одной и той же сумме приводит к разным результатам, даже при r = d. Учетная ставка дает более быстрое снижение суммы, чем обычная.

Пример 5

Простой вексель на сумму 100 тыс. руб. с оплатой через 90 дней учитывается в банке немедленно после получения. Необходимо определить сумму, полученную владельцем векселя при процентной/учетной ставке 15 %.

При использовании процентной ставки по формуле (4):

PV = 100 / (1 + 0,15 × 90 / 360) = 96,39 тыс. руб.

При использовании учетной ставки по формуле (5):

PV = 100 (1 - 0,15 × 90 / 360) = 96,25 тыс. руб.

Учетная ставка d применяется и для наращения по простым процентам (например, при определении будущей суммы контракта):

(6)

Изменим условия примера 5 следующим образом.

Пример 6

На какую сумму должен быть выписан вексель, чтобы поставщик, проведя операцию учета, получил стоимость товаров (100 тыс. руб.) в полном объеме, если учетная ставка — 15 %?

По формуле (6) определяем будущую стоимость (номинал) векселя:

FV = 100 / (1 - 0,15 × 90 / 360) = 103,896 тыс. руб.

Величина процентной ставки r или учетной ставки d может быть определена из соотношений (1) и (5):

(7)

(8)

Пример 7

Краткосрочное обязательство со сроком погашения 90 дней было приобретено по цене 98,22 ед. от номинала. Необходимо определить доходность операции для инвестора.

Она составляет (с использованием обыкновенных процентов):

Срок операции в днях определяется следующим образом:

Пример 8

Необходимо определить срок владения обязательством стоимостью 98,22 ед., погашаемого по номиналу, если требуемая норма доходности 7,2 %.

Эквивалентность процентных ставок r и d

Эквивалентные процентные ставки — это такие ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.

Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случаях, когда существует возможность выбора условий финансовой операции и требуется инструмент для корректного сравнения различных процентных ставок.

Вывод формул эквивалентности базируется на равенстве соответствующих множителей наращения:

1 + n × r = (1 - n × d) - 1. (11)

С учетом формулы (11) для операций с продолжительностью менее года соотношения эквивалентности примут вид:

• временная база одинакова и равна В (360 или 365 дней):

• временная база ставки r равна 365 дням, а d — 360 дням:

Пример 9

Срок уплаты по векселю — 250 дней. При этом ставка простых процентов измеряется при временной базе 365 дней, а простая учетная ставка — при временной базе 360 дней. Какова будет доходность, измеренная в виде ставки простых процентов, учета векселя по простой учетной ставке 10 %?

Используя формулу (14) для r при заданных временных базах, получим:

r = 365 × 0,1 / (360 - 250 × 0,1) = 0,1089, или 10,89 %.

Допустим, что настоящая стоимость векселя — 100 000 руб. Тогда его номинальная стоимость по формуле (3) составит:

Наращение по сложным процентам

Сложные проценты применяются, как правило, в финансовых операциях, срок проведения которых более года. При этом базой исчисления процентов является как исходная сумма финансовой операции, так и сумма уже накопленных к этому времени процентов.

Наращение по сложным процентам имеет вид:

FV n = PV (1 + r) n . (16)

Наращение по сложным процентам подразумевает реинвестирование полученных доходов или капитализацию.

Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j — годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j / m. Тогда, если срок финансовой операции составляет n лет, выражение для определения наращенной суммы (16) примет вид:

При увеличении числа периодов начисления m будущая величина FV mn также возрастает.

Пример 10

Первоначальная сумма вложения 200 тыс. руб. определить наращенную сумму через пять лет при использовании сложной ставки процентов в размере 28% годовых. Решить пример для случаев, когда проценты начисляются по полугодиям, поквартально.

По формуле (16) для сложных процентных ставок:

FV = 200(1 + 0,28) 5 = 687,2 тыс. руб.

По формуле (17) для начисления по полугодиям:

FV = 200(1 + 0,28 / 2) 10 = 741,4 тыс. руб.

По той же формуле для поквартального начисления:

FV = 200(1 + 0,28 / 4) 20 = 773,9 тыс. руб.

Если срок финансовой операции n в годах не является целым числом, множитель наращения k определяется по формуле:

k = (1 + r) n a (1 + n b × r), (18)

где n = n a + n b ;

n a — целое число лет;

n b — оставшаяся дробная часть года.

На практике в данном случае часто применяют формулу (16) с соответствующим нецелым показателем степени. Однако этот способ является приблизительным. Чем больше значения входящих в формулу величин, тем погрешность при вычислениях будет больше.

Пример 11

Первоначальная сумма долга равна 50 000 тыс. руб. Необходимо определить наращенную сумму через 2,5 года, используя два способа начисления сложных процентов по ставке 25 % годовых.

По формуле (18) получаем:

FV = 50 000(1 + 0,25) 2 (1 + 0,5 × 0,25) = 87 890,6 тыс. руб.

Для второго способа используем формулу (16) с нецелым показателем степени:

FV = 50 000(1 + 0,25) 2,5 = 87 346,4 тыс. руб.

При использовании приблизительного метода упущенная выгода могла бы составить около 550 тыс. руб.

Если начисление сложных процентов осуществляется несколько раз в году и общее число интервалов начисления не является целым числом (mn — целое число интервалов начисления, l — часть интервала начисления), то выражение (17) принимает вид:

(19)

Для целого числа периодов начисления используется формула сложных процентов (16), а для оставшейся части — формула простых процентов (1).

На практике часто возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случае соответствующие процентные ставки приводят к их годовому эквиваленту по формуле:

Полученную при этом величину называют эффективной процентной ставкой (effective percentage rate — EPR), или ставкой сравнения.

Пример 12

На четырехлетний депозит в 10 000 руб. производится ежеквартальное начисление сложных процентов по ставке 2,5 %, то есть из расчета 10 % годовых. Будет ли эквивалентной инвестицией депозит в 10 000 руб., вложенный на тот же срок под 10 %, начисляемых один раз в год?

Рассчитаем эффективную ставку для обеих операций:

• ежеквартально: EPR = (1 + 0,1 / 4) 4 - 1 = 0,103813;

• ежегодно: EPR = (1 + 0,1 / 1) 1 - 1 = 0,10.

Таким образом, условия помещения суммы в 10 000 руб. на депозит сроком на четыре года под 2,5 %, начисляемых ежеквартально, будут эквивалентными годовой ставке, равной 10,3813 %. Следовательно, первая операция более выгодна для инвестора.

Если известна величина EPR, номинальная ставка процентов может быть определена следующим образом:

Дисконтирование по сложным процентам

Рассмотрим использование при математическом дисконтировании сложных процентных ставок:

Если проценты будут начисляться m раз в году, то формула (22) примет вид:

Пример 13

Банк производит начисление процентов на внесенную сумму по сложной процентной ставке, равной 20 % в год. Какую сумму следует положить на депозит при условии, что вкладчик рассчитывает получить 10 000 тыс. руб. через 10 лет? Требуется рассмотреть два варианта начисления процентов — ежегодное и ежеквартальное.

При ежегодном начислении процентов по формуле (22):

PV = 10 000 / (1 + 0,2) 10 = 1615,1 тыс. руб.

При ежеквартальном начислении процентов по формуле (23):

PV = 10 000 / (1 + 0,2 / 4) 40 = 1420,5 тыс. руб.

Использование сложной учетной ставки

Для расчета операции дисконтирования по сложной учетной ставке используется формула:

PV n = FV n (1 - d) n . (24)

Пример 14

Владелец векселя номинальной стоимостью 500 тыс. руб. и периодом обращения 1,5 года предложил его банку сразу для учета, то есть за 1,5 года до погашения. Банк согласился учесть вексель по сложной учетной ставке 20 % годовых. Требуется определить дисконт, полученный банком, и сумму, выданную владельцу векселя.

Используя формулу (24), находим:

PV = 500 (1 - 0,2) 1,5 = 357,77 тыс. руб.

Дисконт банка составит: 500 - 357,77 = 142,23 тыс. руб.

Для данных условий определим сумму, которую получил бы владелец векселя, если бы банк произвел учет векселя по простой учетной ставке 20 %. Для этого используем формулу (5):

PV = 500 (1 - 0,2 × 1,5) = 350 тыс. руб.

Дисконт банка составит 500 - 350 = 150 тыс. руб.

Таким образом, банку выгоднее учитывать вексель по простой учетной ставке.

Если дисконтирование по сложной учетной ставке производится m раз в году, расчетная формула будет иметь следующий вид:

Пример 15

Сохраним условия предыдущего примера, но пусть расчет дисконтирования производится ежеквартально, то есть m = 4.

По формуле (25) получим:

PV = 500 (1 - 0,2 / 4) 6 = 367,55 тыс. руб.

Дисконт банка составит: 500 - 367,55 = 132,45 тыс. руб.

Доход банка при ежеквартальном дисконтировании будет меньше, чем при ежегодном дисконтировании, на: 142,23 - 132,45 = 9,78 тыс. руб.

При дисконтировании с начислением процентов за периоды менее года может использоваться понятие «эффективная сложная учетная ставка». Эффективная сложная учетная ставка, эквивалентная сложной учетной ставке при заданном значении m, определяется по формуле:

d эф = 1 - (1 - d / m) m . (26)

Пример 16

Долговое обязательство номинальной стоимостью 500 тыс. руб. должно быть погашено через пять лет. Сложная учетная ставка равна 20 % годовых. Начисление процентов ежеквартальное. Требуется определить настоящую величину стоимости обязательства и эффективную учетную ставку.

Используя формулы (25) и (26), получим:

PV = 500 (1 - 0,2 / 4) 20 = 179,243 тыс. руб.

d эф = 1 - (1 - 0,2 / 4) 4 = 0,18549, или 18,549 %.

Подставив значение 18,549 % в формулу (24), получим:

PV = 500 (1 - 0,18549) 5 = 179,247 тыс. руб.

Расхождение между величинами настоящей суммы, рассчитанными по этим формулам, находятся в пределах точности расчета.

Определение процентной ставки и срока проведения операции

При известных величинах FV, PV и n процентную ставку можно определить по формуле:

Пример 17

Сумма в 10 000 руб., помещенная в банк на четыре года, составила величину 14 641 руб. Необходимо определить доходность операции.

По формуле (27) находим:

r = (14 641 / 10 000) 1/4 - 1 = 0,1, или 10 %.

Длительность операции определяется логарифмированием:

Пример 18

Сумма в 10 000 руб., помещенная в банк под 10 % годовых, составила величину в 14 641 руб. Необходимо определить срок проведения операции.

По формуле (28) находим:

n = log (14 641 / 10 000) / log (1 + 0,1) = 4 года.

Вывод

Приведенные расчетные формулы описывают механизм влияния фактора времени на результат финансовых операций. Их использование позволит избежать ошибок и потерь в условиях снижения покупательной способности денег.

Е. Г. Моисеева,
канд. экон. наук, Арзамасский политехнический институт

Определение неудовлетворительной структуры баланса предприятия по критериям текущей ликвидности, обеспеченности собственными средствами, восстановления или утраты платежеспособности

Согласно постановлению Правительства РФ от 25.05.94 года №498, степень неплатежеспособности предприятий должна оцениваться по трем критериям, характеризующим неудовлетворительную структуру баланса:

1. коэффициент текущей ликвидности;

2. коэффициент обеспеченности собственными средствами;

3. коэффициент восстановления или утраты платежеспособности.

Основанием для признания структуры баланса предприятия неудовлетворительной, а предприятия - неплатежеспособным является выполнение одного из следующих условий:

Коэффициент текущей ликвидности на конец отчетного периода имеет значение менее 2;

Коэффициент обеспеченности собственными средствами на конец отчетного периода имеет значение менее 0.1. На основании этих коэффициентов территориальными агентствами по неплатежеспособности и банкротству предприятий принимаются следующие решения: О признании структуры баланса неудовлетворительной, следовательно, предприятие – неплатежеспособно. О наличии реальной возможности у предприятия-должника восстановить свою платежеспособность. О наличие реальной возможности утраты платежеспособности предприятия, если оно в ближайшее время не сможет выполнить своих обязательств перед кредиторами. Эти решения принимаются вне зависимости от наличия у предприятия установленных законодательством внешних признаков несостоятельности.

Коэффициент текущей ликвидности характеризует общую обеспеченность предприятия оборотными средствами для ведения хозяйственной деятельности и возможность предприятия своевременно погашать срочные обязательства = тек активы/тек пассивы.

Коэффициент обеспеченности собственными средствами характеризует наличие собственных средств у предприятия, необходимых для обеспечения его финансовой устойчивости = (тек.пассивы-тек.активы)/общ величина тек активов.

Признание предприятия неплатежеспособным не всегда означает признание его несостоятельным, не влечет за собой наступление гражданско-правовой ответственности собственника. Это лишь фиксируется в территориальном агентстве по банкротству как финансовая неустойчивость.

Нормативное значение критериев установлено таким образом, чтобы обеспечить меры по предупреждению несостоятельности предприятия, а также стимулировать данное предприятие к самостоятельному выходу из кризиса. В случае если хотя бы один из двух вышеперечисленных коэффициентов не отвечает нормативным значениям, рассчитывается коэффициент восстановления платежеспособности за предстоящий период 6 месяцев. Если коэффициент текущей ликвидности больше или равен 2, коэффициент обеспеченности больше или равен 0,1, то рассчитывается коэффициент утраты платежеспособности за предстоящий период 3 месяцев.

Коэффициент восстановления платежеспособности определяется как сумма фактического значения текущей ликвидности отчетного периода и изменение этого коэффициента между окончанием и началом периода в перерасчете на 6 месяцев.

К1Ф – фактическое значение коэффициента текущей ликвидности на конец отчетного периода.

К2Ф – фактическое значение коэффициента текущей ликвидности на начало отчетного периода.

Т – отчетный период в месяцах

2 – норматив коэффициента текущей ликвидности

(на 6 мес) > 1, то у предприятия есть реальная возможность восстановить свою платежеспособность за достаточно короткий период.

Если коэффициент восстановления платежеспособности < 1, то у предприятия нет реальной возможности восстановить свою платежеспособность на данный момент и за достаточно короткий срок.

Коэффициент утраты платежеспособности определяется:

Если коэффициент утраты платежеспособности (на 3 мес) > 1, это свидетельствует о наличие реальной возможности у предприятия утратить платежеспособность.

При наличии оснований для признания структуры баланса неудовлетворительной, но в случае выявления реальной возможности восстановить платежеспособность, территориальным агентством по банкротству принимается отложить решение о признании структуры баланса неудовлетворительной, а предприятие неплатежеспособным на срок до 6 месяцев.

Если такие основания отсутствуют, то принимается одно из двух решений:

Если коэффициент восстановления платежеспособности > 1, то не принимается решение о признании структуры баланса неудовлетворительной, а предприятие – неплатежеспособным.

Если коэффициент восстановления платежеспособности < 1, тогда решение о признании структуры баланса неудовлетворительной, а предприятие – неплатежеспособным так же не может быть принятым. Однако в виду реальной угрозы утраты платежеспособности оно ставится на учет в территориальный орган по банкротству, но только в том случае, если доля государственных предприятий в общей собственности более 25%.

Ряд предприятий может оказаться неплатежеспособным в связи с задолженностью государства перед этим предприятием. В этом случае производится анализ зависимости платежеспособности предприятия на данный момент и задолженности государства предприятию.

Проценты – доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты и т.д.), либо от инвестиций производственного или фин. характера.

Процентная ставка – это величина, характеризующая интенсивность начисления процента.

В настоящее время существует два способа определения и начисления процентов:

Декурсивный способ. Проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставленного капитала. Соответственно декурсивная процентная ставка (процент) представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.

Антисипативный (предварительный) способ. Предварительный процент начисляется в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентной ставкой будет выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплаченного за определенный интервал к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала.

Процентная ставка показывает степень интенсивности изменения стоимости денег во времени. Абсолютная величина этого изменения называется процентом , измеряется в денежных единицах (например, рублях) и обозначается I. Если обозначить будущую сумму S, а современную (или первоначальную) P, то I = S – P. Процентная ставка i является относительной величиной, измеряется в десятичных дробях или %, и определяется делением процентов на первоначальную сумму:

Кроме процентной существует учетная ставка d (другое название – ставка дисконта), величина которой определяется по формуле:

где D – сумма дисконта.

Сравнивая формулы (1) и (2) можно заметить, что сумма процентов I и величина дисконта D определяются одинаковым образом – как разница между будущей и современной стоимостями. Однако, смысл, вкладываемый в эти термины неодинаков. если в первом случае речь идет о приросте текущей стоимости, то во втором определяется снижение будущей стоимости, “скидка” с ее величины. Основной областью применения учетной ставки является дисконтирование, процесс, обратный по отношению к начислению процентов. При помощи рассмотренных выше ставок могут начисляться как простые так и сложные проценты. При начислении простых процентов наращение первоначальной суммы происходит в арифметической прогрессии, а при начислении сложных процентов – в геометрической. Начисление простых декурсивных и антисипативных процентов производится по различным формулам:

декурсивные проценты: (3)

антисипативные проценты: , (4)

где n – продолжительность ссуды, измеренная в годах.

Однако продолжительность ссуды n необязательно должна равняться году или целому числу лет. Простые проценты чаще всего используются при краткосрочных операциях. В этом случае возникает проблема определения длительности ссуды и продолжительности года в днях. Если обозначить продолжительность года в днях буквой K (этот показатель называется временная база ), а количество дней пользования ссудой t, то использованное в формулах (3) и (4) обозначение количества полных лет n можно будет выразить как t/K. Подставив это выражение в (3) и (4), получим:

для декурсивных процентов: (6)

для антисипативных процентов: , (7)

Наиболее часто встречаются следующие комбинации временной базы и длительности ссуды (цифры в скобках обозначают соответственно величину t и K):

Точные проценты с точным числом дней (365/365).

Обыкновенные (коммерческие) проценты с точной длительностью ссуды (365/360).

Обыкновенные (коммерческие) проценты с приближенной длительностью ссуды (360/360).

Обратной задачей по отношению к начислению процентов является расчет современной стоимости будущих денежных поступлений (платежей) или дисконтирование. В ходе дисконтирования по известной будущей стоимости S и заданным значениям процентной (учетной) ставки и длительности операции находится первоначальная (современная, приведенная или текущая ) стоимость P. В зависимости от того, какая именно ставка – простая процентная или простая учетная – применяется для дисконтирования, различают два его вида: математическое дисконтирование и банковский учет .

Метод банковского учета получил свое название от одноименной финансовой операции, в ходе которой коммерческий банк выкупает у владельца (учитывает) простой или переводный вексель по цене ниже номинала до истечения означенного на этом документе срока его погашения. Разница между номиналом и выкупной ценой образует прибыль банка от этой операции и называется дисконт (D). Для определения размера выкупной цены (а следовательно, и суммы дисконта) применяется дисконтирование по методу банковского учета. При этом используется простая учетная ставка d. Выкупная цена (современная стоимость) векселя определяется по формуле:

где t – срок, остающийся до погашения векселя, в днях. Второй сомножитель этого выражения (1 – (t / k) * d) называется дисконтным множителем банковского учета по простым процентам.

При математическом дисконтировании используется простая процентная ставка i. Расчеты выполняются по формуле:

Выражение 1 / (1 + (t / k) * i) называется дисконтным множителем математического дисконтирования по простым процентам.

Основной областью применения простых процентной и учетной ставок являются краткосрочные финансовые операции, длительность которых менее 1 года.

Вычисления с простыми ставками не учитывают возможность реинвестирования начисленных процентов, потому что наращение и дисконтирование производятся относительно неизменной исходной суммы P или S. В отличие от них сложные ставки процентов учитывают возможность реинвестирования процентов, так как в этом случае наращение производится по формуле не арифметической, а геометрической прогрессии, первым членом которой является начальная сумма P, а знаменатель равен (1 + i). Наращенная стоимость (последний член прогрессии) находится по формуле:

(10), где (1 + i) n – множитель наращения декурсивных сложных процентов.

Сама по себе сложная процентная ставка i ничем не отличается от простой и рассчитывается по такой же формуле (1). Сложная учетная ставка определяется по формуле (2). Так же как и в случае простых процентов возможно применение сложной учетной ставки для начисления процентов (антисипативный метод):

, (11) где 1 / (1 – d)^n – множитель наращения сложных антисипативных процентов.

Важной особенностью сложных процентов является зависимость конечного результата от количества начислений в течение года.

В финансовых расчетах номинальную сложную процентную ставку принято обозначать буквой j. Формула наращения по сложным процентам при начислении их m раз в году имеет вид:

При начислении антисипативных сложных процентов, номинальная учетная ставка обозначается буквой f, а формула наращения принимает вид:

Выражение 1 / (1 – f / m)^mn множитель наращения по номинальной учетной ставке.

Дисконтирование по сложным процентам также может выполняться двумя способами – математическое дисконтирование и банковский учет. Последний менее выгоден для кредитора, чем учет по простой учетной ставке, поэтому используется крайне редко. В случае однократного начисления процентов его формула имеет вид:

где (1 –d) n – дисконтный множитель банковского учета по сложной учетной ставке.

при m > 1 получаем

, (16)где f – номинальная сложная учетная ставка,

(1 – f / m) mn – дисконтный множитель банковского учета по сложной номинальной учетной ставке.

Значительно более широкое распространение имеет математическое дисконтирование по сложной процентной ставке i. Для m = 1 получаем

, (17) где 1 / (1 + i) n – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной процентной ставке.

При неоднократном начислении процентов в течение года формула математического дисконтирования принимает вид:

, (18) где j –номинальная сложная процентная ставка,

1 / (1 + j / m) mn – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной номинальной процентной ставке.

Существует два принципиально разных способа начисления процентов: декурсивный и антисипативный.

При декурсивном способе проценты начисляются в конце каждого интервала начисления, исходя из суммы капитала, предоставленного на начало временного интервала. Декурсивная процентная ставка (i ) называется ссудным процентом и определяется по формуле:

i = I / PV,

где I PV – сумма денег на начало временного интервала.

При антисипативном способе начисления процентов они начисляются в начале каждого интервала начисления, исходя из наращенной суммы денег на конец интервала (включающей капитал и проценты). Антисипативная процентная ставка (d ) называется учетной ставкой и определяется по формуле:

d = I / FV ,

где I – процентный доход за определенный временной интервал; FV – наращенная сумма денег на конец временного интервала.

На практике наибольшее распространение получил декурсивный способ начисления процентов. Антисипативный способ применяется в операциях учета векселей и других денежных обязательств. Сумма денег на конец интервала начисления считается величиной получаемого кредита. Так как проценты начисляются в начале временного интервала, то заемщик получает сумму кредита за вычетом процентов. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке или банковским учетом. Дисконт – это разница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой, то есть доход, полученный банком по учетной ставке.

Как при декурсивном, так и при антисипативном способах могут использоваться схемы начисления простых и сложных процентов. При использовании схемы простых процентов они начисляются на сумму первоначального вклада. Сложный процент предполагает капитализацию процентов, то есть начисление «процентов на проценты».

С точки зрения кредитора, при проведении финансовых операций краткосрочного характера (менее года) более выгодна схема простых процентов, а при долгосрочных операциях (более года) – схема сложных процентов. При долгосрочных операциях с дробным числом лет выгодна так называемая смешанная схема, когда в течение целого числа лет начисляются сложные проценты, а в течение дробной части года – простые проценты.

В табл. систематизированы формулы определения наращенной суммы денег, то есть будущей стоимости вклада, при декурсивном и антисипативном способах начисления процентов. При этом использованы следующие обозначения:

FV – будущая (наращенная) сумма денег;

PV – настоящая (текущая) сумма денег;

i – ставка ссудного процента;

d – учетная ставка;

n – число лет в интервале начисления процентов;

m – число внутригодовых начислений процентов;

t – продолжительность интервала начисления процентов при краткосрочных операциях, дней;

T – продолжительность года, дней;

w – целое число лет в интервале начисления;

f – дробная часть года в интервале начисления.

Таблица

Формулы расчета наращенной суммы денег при различных условиях начисления процентов

Условия начисления процентов	Способ начисления процентов
Декурсивный	Антисипативный
простой процент, целое число лет в интервале начисления	FV = PV´ (1 + in)	FV = PV / (1 – dn)
сложный процент, целое число лет в интервале начисления	FV = PV´ (1 + i) n	FV = PV / (1 – d) n
простой процент, срок операции менее года
смешанная схема начисления процентов при дробном числе лет в интервале начисления	FV = PV´ (1 + i) w (1 + if)	FV = PV / [(1 – d) w (1 + if)]
сложный процент, внутригодовые начисления с целым числом лет в интервале начисления процентов	FV = PV´(1 +i/m) nm	FV = PV / (1 –d/m) nm