Сложный процент и формулы расчета сложного процента. Формула сложных процентов

Данная тема относится к и обязательна для изучения при инвестировании, построении капитала или просто для накопления необходимой суммы денег. В финансовой сфере принято отличать принцип расчета простых и сложных процентов. Например, в банковской сфере сложный процент понимается под понятием . А в инвестициях часто используют слово "реинвестирование".

Сложным процентом называют геометрическую прогрессию денежной суммы, при которой начисленные проценты прибыли прибавляются к базовой сумме, в следующем периоде базовая сумма увеличивается и процент начисляется уже на нее. За счет этого эффекта доходность получается выше, чем при простом проценте.

Капитализация или реинвестирование - это суммирование начисляемых процентов с базовой суммой в обозначенный период. В последующем периоде базовая сумма изменяется на эту величину процента, таким образом достигается прогрессивное или лавинообразное увеличение суммы средств. При подсчете по формуле простого процента, базовая сумма всегда остается неизменной.

Вся эта теория для неподготовленного читателя кажется через чур трудоемкой и запутанной. Но мы вас уверяем, ничего сверхсложного в формуле сложного процента и его отличия от простого нет. Сейчас разберем несколько задач и все встанет на свои места.

Примеры расчета простого и сложного процента

Простой

Вы положили на обычный депозитный счет 1000 рублей под 10% годовых на 3 года. Через 3 года вы снимаете 1300 рублей. Так работает простой процент.

Сложный

Вы положили на депозитный счет 1000 рублей, но в характеристиках вклада указано "с ежегодной капитализацией процентов" . Те же - 10% годовых, срок тот же - 3 года. Через 3 года вы снимаете уже 1331 рубль. За счет эффекта сложного процента вы получили больше на 31 рубль, чем в первом случае.

Подробнее о сложном проценте

Простые проценты нам больше не интересны, а формула сложного выглядит так:

S - сумма, которую вы снимете в конце

B - базовая сумма

Pr - процентная ставка

n - временной период (может быть как в годах, так и в месяцах)

Давайте теперь посчитаем на суммах и процентах более приближенных к реальности, чтобы ощутить разницу в полной мере.

Задача №1

• банковский депозит на сумму 100 тыс. руб.
• процентная ставка 8% годовых
• срок 4 года
• присутствует ежегодная капитализация процентов

В данном случае происходит ежегодная капитализация процента по вкладу. В некоторых банках также бывает услуга ежемесячной капитализации процентов. Об этом в задаче ниже.

Задача №2

• банковский депозит на сумму 100 тыс руб.
• процентная ставка 8% годовых
• период 4 года
• ежемесячная капитализация

• конечную результирующую сумму (доход + %)

В формуле нужно применять ежемесячный процент, для этого 8 разделим на 12 месяцев. Получается 0,67% - это процент за месяц. И обратите внимание, степень теперь равна 48 - это количество месяцев за 4 года. Подставляем его в формулу:

Выводы

При ежемесячной капитализации результирующий доход вкладчика получился больше на 1736 рублей.

Чтобы сложный процент работал, не нужно снимать начисленные проценты, пусть они капитализируются на счете. Тогда вы получите больше выгоды от депозита.

Формула сложного процента на примере реального банковского вклада

Выше мы рассмотрели упрощенные примеры работы сложного процента. На самом деле банки используют немного усложненную формулу.

Ставка процентов представляется как

g - ставка в % годовых, разделенная на 100. Если 8% годовых, то получаем g =0,08
d - количество дней, через которое проценты капитализируются с базовой суммой
y - кол-во дней в году

Формула универсальная и позволяет сделать вычисление для разных типов депозитов. Таким образом, наша основная формула стала чуть-чуть сложнее:

Математическое понятие "геометрическая прогрессия" помогает работать банковскому вкладу с капитализацией гораздо более эффективно, чем без капитализации. Человеческий мозг не всегда может представить разницу или она поначалу ему кажется не существенной. В действительности, на значительных отрезках времени сложный процент начинает играть огромную роль при построении капитала.

Пример расчета сложного процента на большом отрезке времени

Возьмем одновременно 2 примера с простым и сложным процентами, чтобы разница была наглядной. В обоих вариантах начальная базовая сумма будет составлять 10 тыс. руб. на 20 лет под 10% годовых. В столбцах "сложный процент" сумма процентов каждый год будет прибавляться к базовой сумме.

Как мы видим при длительном отрезке капитализация процентов выглядит очень поразительным инструментом! И чем больше период вложений, тем более разительной становится разница. Но давайте рассмотрим еще более впечатляющий пример.

Как поможет сложный процент в построении капитала?

Самый впечатляющий пример работы сложного процента будет ниже.

Представьте, что базовая сумма у вас совсем мизерная - 1000 рублей. Но вы каждый месяц можете откладывать от зарплаты по 1000 рублей.

Теперь прикинем варианты, какие проценты дают доступные средства сохранения и инвестирования денег в год:

• 5% - государственные облигации, так называемые облигации федерального займа. Это упрощенно, на самом деле суммы может быть побольше.
• 10% - самый щедрый банковский вклад
• 15% - смешанный инвестиционный портфель акций и облигаций
• 20% - такой процент годовых может дать портфель из акций фондовой биржи.

Давайте не будем больше приводить формулы, так как мы уже все подробно рассказали. Теперь просто возьмем итоговые цифры, которые поражают воображение неподготовленного человека.

Как мы видим результаты впечатляющие, суммы растут как снежный ком. Вы все можете проверить по калькулятору или экселю, здесь нет обмана. Вы действительно можете стать миллионером, откладывая всего по 1000 рублей в месяц.

А что если вы сможете откладывать по 10000 рублей? Теперь подрисуйте в таблице везде по нолику и еще раз удивитесь результатам.

Вы можете возразить, что действительно интересные суммы появляются только при 20% годовых. А вкладывать в акции вы, мол, не умеете. В действительности, это не такое сложное занятие.. Есть очень простые стратегии инвестирования в акции. Вам не понадобится думать, как выбирать акции и каждый день или неделю продавать их или покупать. Тут все почти как с банковским вкладом. Вы просто откладываете деньги покупаете на них каждый месяц одни и те же акции или паи фонда. Это краткая суть стратегии.

Почему в акции инвестировать безопасно? Почему акции непременно будут расти на 20% годовых? Подробная информация о стратегии и ответы на эти вопросы вы получите на нашем вебинаре об , а точнее записи этого вебинара.

Вспомогательные формулы

Привожу еще пару вспомогательных формул, которые могут пригодиться при составлении личного финансового плана. Они выражаются из уже написанных выше. Рассмотрим все на примерах задач.

Задача №1

• у вас есть 60 тыс. рублей
• вы хотите приумножить их до 250 тыс. рублей
• у вас есть срок 15 лет

• под какую процентную ставку нужно вложить деньги?

Расчет:

Ответ равен 10,03 процентам

Задача №2

• у вас есть 50 тыс. рублей
• вы хотите приумножить их до 1 млн. рублей
• вы уверены, что сможете вложить их под 40% годовых

• сколько потребуется для этого времени в годах?

Расчет:

Ответ: 8,9 лет.

Заключение

Описанная формула простых и сложных процентов построения капитала активно используется во всем мире, будь то обычное накопление или инвестирование. Профессиональные финансовые советники и богатейшие люди мира одинаково хорошо отзываются и рекомендуют прибегать к сложным процентам для улучшения своего финансового положения.

Как мы увидели, не обязательно иметь крупную сумму в самом начале, главное регулярно откладывать деньги и пользоваться хорошим процентом.

Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.

Формула наращения по сложным процентам

Пусть первоначальная сумма долга равна P , тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит P (1+ i ) , через 2 года P (1+ i )(1+ i )= P (1+ i ) 2 , через n лет - P (1+ i ) n . Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов

S=P(1+i) n , (19)

где S - наращенная сумма, i - годовая ставка сложных процентов, n - срок ссуды, (1+ i ) n - множитель наращения.

В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.). Наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен P , а знаменатель (1+ i ).

Отметим, что при сроке n <1 наращение по простым процентам дает больший результат, чем по сложным, а при n >1 - наоборот. В этом нетрудно убедиться на конкретных числовых примерах. Наибольшее превышение суммы, наращенной по простым процентам, над суммой, наращенной по сложным процентам, (при одинаковых процентных ставках) достигается в средней части периода.

Формула наращения по сложным процентам,
когда ставка меняется во времени

В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид

(20)

где i 1 , i 2 ,..., i k - последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n 1, n 2,..., nk соответственно.

Пример 6.

В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% в первые два года, 8% в третий год, 5% в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года.

Решение.

(1+0,3) 2 (1+0,28)(1+0,25)=2,704

Формула удвоения суммы

В целях оценки своих перспектив кредитор или должник может задаться вопросом: через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз при данной процентной ставке. Обычно это требуется при прогнозировании своих инвестиционных возможностей в будущем. Ответ получим, приравняв множитель наращения величине N :

А) для простых процентов

(1+ ni прост. ) = N , откуда

. (21)

Б) для сложных процентов

(1+ i сложн. ) n = N , откуда

. (22)

Особенно часто используется N =2. Тогда формулы (21) и (22) называются формулами удвоения и принимают следующий вид:

А) для простых процентов

, (23)

Б) для сложных процентов

. (24)

Если формулу (23) легко применять для прикидочных расчетов, то формула (24) требует применения калькулятора. Однако при небольших ставках процентов (скажем, менее 10%) вместо нее можно использовать более простую приближенную. Ее легко получить, если учесть, что ln 2  0,7, а ln (1+ i )  i . Тогда

n » 0,7/ i . (25)

Пример 7.

Решение.

а) При простых процентах:

лет.

б) При сложных процентах и точной формуле:

Года.

в) При сложных процентах и приближенной формуле:

n » 0,7/i = 0,7/0,1 =7 лет .

Выводы:

1) Одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к совершенно различным результатам.

2) При малых значениях ставки сложных процентов точная и приближенная формулы дают практически одинаковые результаты.

Начисление годовых процентов при дробном числе лет

При дробном числе лет проценты начисляются разными способами:

1) По формуле сложных процентов

S=P(1+i) n , (26)

2) На основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное - простые

S=P(1+i) a (1+bi) , (27)

где n = a + b , a -целое число лет, b -дробная часть года.

3) В ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е.

S=P(1+i) a . (28)

Номинальная и эффективная ставки процентов

Номинальная ставка . Пусть годовая ставка сложных процентов равна j , а число периодов начисления в году m . Тогда каждый раз проценты начисляют по ставке j / m . Ставка j называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле:

S=P(1+j/m) N , (29)

где N - число периодов начисления.

Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при m разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими способами, приводящими к различным результатам:

1) По формуле сложных процентов

S=P(1+j/m) N/ t , (30)

где N / t - число (возможно дробное) периодов начисления процентов, t - период начисления процентов,

2) По смешанной формуле

, (31)

где a - целое число периодов начисления (т.е. a = [ N / t ] - целая часть от деления всего срока ссуды N на период начисления t ),

b - оставшаяся дробная часть периода начисления ( b = N / t - a ).

Пример 8.

Размер ссуды 20 млн. руб. Предоставлена на 28 месяцев. Номинальная ставка равна 60% годовых. Начисление процентов ежеквартальное. Вычислить наращенную сумму в трех ситуациях: 1) когда на дробную часть начисляются сложные проценты, 2) когда на дробную часть начисляются простые проценты 3) когда дробная часть игнорируется. Результаты сравнить.

Решение.

Начисление процентов ежеквартальное. Всего имеется кварталов.

1) = 73,713 млн. руб.

2) = 73,875 млн. руб.

3) S=20(1+0,6/4) 9 = 70,358 млн . руб .

Из сопоставления наращенных сумм видим, что наибольшего значения она достигает во втором случае, т.е. при начислении на дробную часть простых процентов.

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m -разовое наращение в год по ставке j / m .

Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со ставкой j / m , то, по определению, можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:

(1+i э ) n =(1+j/m) mn , (32)

где i э - эффективная ставка, а j - номинальная. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением

(33)

Обратная зависимость имеет вид

j=m[(1+i э ) 1/m -1]. (34)

Пример 9.

Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10% годовых.

Решение

i э =(1+0,1/4) 4 -1=0,1038, т.е. 10,38%.

Пример 10.

Определить какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12% годовых.

Решение.

j =4[(1+0,12) 1/4 -1]=0,11495, т.е. 11,495%.

Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов

Здесь, также как и в случае простых процентов, будут рассмотрены два вида учета - математический и банковский.

Математический учет . В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения

S=P(1+i) n

и решим ее относительно P

, (35)

где

(36)

учетный или дисконтный множитель.

Если проценты начисляются m раз в году, то получим

, (37)

где

(38)

дисконтный множитель.

Величину P , полученную дисконтированием S , называют современной или текущей стоимостью или приведенной величиной S . Суммы P и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через n лет равноценен сумме P , выплачиваемой в настоящий момент.

Разность D = S - P называют дисконтом .

Банковский учет . В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле

P=S(1-d сл ) n , (39)

где d сл - сложная годовая учетная ставка.

Дисконт в этом случае равен

D=S-P=S-S(1-d сл ) n =S. (40)

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.

Номинальная и эффективная учетные ставки процентов

Номинальная учетная ставка . В тех случаях, когда дисконтирование применяют m раз в году, используют номинальную учетную ставку f . Тогда в каждом периоде, равном 1/ m части года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставке f / m . Процесс дисконтирования по этой сложной учетной m раз в году описывается формулой

P=S(1-f/m) N , (41)

где N - общее число периодов дисконтирования (N = mn ).

Дисконтирование не один, а m раз в году быстрее снижает величину дисконта.

Эффективная учетная ставка . Под эффективной учетной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эквивалентную (по финансовым результатам) номинальной, применяемой при заданном числе дисконтирований в году m .

В соответствии с определением эффективной учетной ставки найдем ее связь с номинальной из равенства дисконтных множителей

(1-f/m) mn =(1-d сл ) n ,

из которого следует, что

d сл =1-(1-f/m) m . (42)

Отметим, что эффективная учетная ставка всегда меньше номинальной.

Наращение по сложной учетной ставке. Наращение является обратной задачей для учетных ставок. Формулы наращения по сложным учетным ставкам можно получить, разрешая соответствующие формулы для дисконтирования (39 и 41) относительно S . Получаем

из P=S(1-d сл) n

, (43)

а из P = S (1- f / m ) N

. (44)

Пример 11.

Какую сумму следует проставить в векселе, если реально выданная сумма равна 20 млн. руб., срок погашения 2 года. Вексель рассчитывается, исходя из сложной годовой учетной ставки 10%.

Решение.

млн. руб.

Пример 12.

Решить предыдущую задачу при условии, что наращение по сложной учетной ставке осуществляется не один, а 4 раза в год.

Решение.

млн. руб.

Наращение и дисконтирование

Наращенная сумма при дискретных процентах определяется по формуле

S = P (1+ j / m ) mn ,

где j - номинальная ставка процентов, а m - число периодов начисления процентов в году.

Чем больше m , тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m ® ¥ имеем

S= lim P(1+j/m) mn =P lim [(1+j/m) m ] n . (45)

m ® ¥ m ® ¥

Известно, что

lim (1+j/m) m =lim [(1+j/m) m/j ] j =e j ,

m ® ¥ m ® ¥

где e - основание натуральных логарифмов.

Используя этот предел в выражении (45), окончательно получаем, что наращенная сумма в случае непрерывного начисления процентов по ставке j равна

S = Pe jn . (46)

Для того, чтобы отличать ставку непрерывных процентов от ставок дискретных процентов, ее называют силой роста и обозначают символом d . Тогда

S=Pe d n . (47)

Сила роста d представляет собой номинальную ставку процентов при m ® ¥ .

Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле

P=Se - d n . (48)

Связь дискретных и непрерывных процентных ставок

Дискретные и непрерывные процентные ставки находятся в функциональной зависимости, благодаря которой можно осуществлять переход от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот. Формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим можно получить путем приравнивания соответствующих множителей наращения

(1+i) n =e d n . (49)

Из записанного равенства следует, что

d = ln (1+ i ) , (50)

i = e d -1 . (51)

Пример 13.

Годовая ставка сложных процентов равна 15%, чему равна эквивалентная сила роста,

Решение.

Воспользуемся формулой (50)

d = ln (1+ i )= ln (1+0,15)=0,13976,

т.е. эквивалентная сила роста равна 13,976%.

Расчет срока ссуды и процентных ставок

В ряде практических задач начальная (P ) и конечная (S ) суммы заданы контрактом, и требуется определить либо срок платежа, либо процентную ставку, которая в данном случае может служить мерой сравнения с рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора. Указанные величины нетрудно найти из исходных формул наращения или дисконтирования. По сути дела, в обоих случаях решается в известном смысле обратная задача.

Срок ссуды

При разработке параметров соглашения и оценивании сроков достижения желательного результата требуется определить продолжительность операции (срока ссуды) через остальные параметры сделки. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

i .

S=P(1+i) n

следует, что

(52)

где логарифм можно взять по любому основанию, поскольку он имеется как в числителе, так и в знаменателе.

m раз в году из формулы

S=P(1+j/m) mn

получаем

(53)

d . Из формулы

P=S(1-d) n

имеем (54)

m раз в году. Из

P=S(1-f/m) mn

приходим к формуле

(55)

При наращивании по постоянной силе роста. Исходя из

S = Pe d n

получаем

ln ( S / P )= d n . (56)

Расчет процентных ставок

Из тех же исходных формул, что и выше, получим выражения для процентных ставок.

А) При наращивании по сложной годовой ставке i . Из исходной формулы наращения

S=P(1+i) n

следует, что

(57)

Б) При наращивании по номинальной ставке процентов m раз в году из формулы

S=P(1+j/m) mn

получаем (58)

В) При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d . Из формулы

P=S(1-d) n

имеем (59)

Г) При дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в году. Из

P=S(1-f/m) mn

приходим к формуле

(60)

Д) При наращивании по постоянной силе роста. Исходя из

S = Pe d n

получаем

(61)

Начисление процентов и инфляция

Следствием инфляции является падение покупательной способности денег, которое за период n характеризуется индексом J n . Индекс покупательной способности равен обратной величине индекса цен J p , т.е.

J n =1/ J p . (62)

Индекс цен показывает во сколько раз выросли цены за указанный промежуток времени.

Наращение по простым процентам

Если наращенная за n лет сумма денег составляет S , а индекс цен равен J p , то реально наращенная сумма денег, с учетом их покупательной способности, равна

C=S/J p . (63)

Пусть ожидаемый средний годовой темп инфляции (характеризующий прирост цен за год) равен h . Тогда годовой индекс цен составит (1+ h ).

Если наращение производится по простой ставке в течение n лет, то реальное наращение при темпе инфляции h составит

(64)

где в общем случае

(65)

и, в частности, при неизменном темпе роста цен h ,

J p =(1+h) n . (66)

Процентная ставка, которая при начислении простых процентов компенсирует инфляцию, равна

(67)

Один из способов компенсации обесценения денег заключается в увеличении ставки процентов на величину так называемой инфляционной премии. Скорректированная таким образом ставка называется брутто-ставкой . Брутто-ставка, которую мы будем обозначать символом r , находится из равенства скорректированного на инфляцию множителя наращения по брутто-ставке множителю наращения по реальной ставке процента

(68)

откуда

(69)

Наращение по сложным процентам

Наращенная по сложным процентам сумма к концу срока ссуды с учетом падения покупательной способности денег (т.е. в неизменных рублях) составит

(70)

где индекс цен определяется выражением (65) или (66), в зависимости от непостоянства или постоянства темпа инфляции.

В этом случае падение покупательной способности денег компенсируется при ставке i = h , обеспечивающей равенство C = P .

Применяются два способа компенсации потерь от снижения покупательной способности денег при начислении сложных процентов.

А) Корректировка ставки процентов , по которой производится наращение, на величину инфляционной премии. Ставка процентов, увеличенная на величину инфляционной премии, называется брутто-ставкой. Будем обозначать ее символом r . Считая, что годовой темп инфляции равен h , можем написать равенство соответствующих множителей наращения

(71)

где i - реальная ставка.

Отсюда получаем формулу Фишера

r=i+h+ih . (72)

То есть инфляционная премия равна h + ih .

Б) Индексация первоначальной суммы P . В этом случае сумма P корректируется согласно движению заранее оговоренного индекса. Тогда

S=PJ p (1+i) n . (73)

Нетрудно заметить, что и в случае А) и в случае Б) в итоге мы приходим к одной и той же формуле наращения (73). В ней первые два сомножителя в правой части отражают индексацию первоначальной суммы, а последние два - корректировку ставки процента.

Измерение реальной ставки процента

На практике приходится решать и обратную задачу - находить реальную ставку процента в условиях инфляции. Из тех же соотношений между множителями наращения нетрудно вывести формулы, определяющие реальную ставку i по заданной (или объявленной) брутто-ставке r .

При начислении простых процентов годовая реальная ставка процентов равна

(74)

При начислении сложных процентов реальная ставка процентов определяется следующим выражением

(75)

Практические приложения теории

Рассмотрим некоторые практические приложения рассмотренной нами теории. Покажем как полученные выше формулы применяются при решении реальных задач по расчету эффективности некоторых финансовых операций, сравним различные методы расчетов.

Конвертация валюты и начисление процентов

Рассмотрим совмещение конвертации (обмена) валюты и наращение простых процентов , сравним результаты от непосредственного размещения имеющихся денежных средств в депозиты или после предварительного обмена на другую валюту. Всего возможно 4 варианта наращения процентов:

1. Без конвертации. Валютные средства размещаются в качестве валютного депозита, наращение первоначальной суммы производится по валютной ставке путем прямого применения формулы простых процентов.

2. С конвертацией. Исходные валютные средства конвертируются в рубли, наращение идет по рублевой ставке, в конце операции рублевая сумма конвертируется обратно в исходную валюту.

3. Без конвертации. Рублевая сумма размещается в виде рублевого депозита, на который начисляются проценты по рублевой ставке по формуле простых процентов.

4. С конвертацией. Рублевая сумма конвертируется в какую-либо конкретную валюту, которая инвестируется в валютный депозит. Проценты начисляются по валютной ставке. Наращенная сумма в конце операции обратно конвертируется в рубли.

Операции без конвертации не представляют сложности. В операции наращения с двойной конвертацией имеются два источника дохода: начисление процента и изменение курса. Причем начисление процента является безусловным источником (ставка фиксирована, инфляцию пока не рассматриваем). Изменение же обменного курса может быть как в ту, так и в другую сторону, и оно может быть как источником дополнительного дохода, так и приводить к потерям. Далее мы конкретно остановимся на двух вариантах (2 и 4), предусматривающих двойную конвертацию.

Предварительно введем следующие ОБОЗНАЧЕНИЯ:

P v - сумма депозита в валюте,

P r - сумма депозита в рублях,

S v - наращенная сумма в валюте,

S r - наращенная сумма в рублях,

K 0 - курс обмена в начале операции (курс валюты в руб.)

K 1 - курс обмена в конце операции,

n - срок депозита,

i - ставка наращения для рублевых сумм (в виде десятичной дроби),

j - ставка наращения для конкретной валюты.

ВАРИАНТ:ВАЛЮТА ® РУБЛИ ® РУБЛИ ® ВАЛЮТА

Операция состоит из трех этапов: обмена валюты на рубли, наращения рублевой суммы, обратное конвертирование рублевой суммы в исходную валюту. Наращенная сумма, получаемая в конце операции в валюте, составит

.

Как видим, три этапа операции нашли свое отражение в этой формуле в виде трех сомножителей.

Множитель наращения с учетом двойной конвертации равен

,

где k = K 1 / K 0 - темп роста обменного курса за срок операции.

Мы видим, что множитель наращения m связан линейной зависимостью со ставкой i и обратной с обменным курсом в конце операции K 1 (или с темпом роста обменного курса k ).

Исследуем теоретически зависимость общей доходности операции с двойной конвертацией по схеме ВАЛЮТА ® РУБЛИ ® РУБЛИ ® ВАЛЮТА от соотношения конечного и начального курсов обмена k .

Простая годовая ставка процентов, характеризующая доходность операции в целом, равна

.

Подставим в эту формулу записанное ранее выражение для S v

.

Таким образом с увеличением k доходность i эфф падает по гиперболе с асимптотой -1/ n . См. рис. 2.

Рис. 2.

Исследуем особые точки этой кривой. Отметим, что при k =1 доходность операции равна рублевой ставке, т.е. i эфф = i . При k >1 i эфф < i , а при k <1 i эфф > i . На рис. 1 видно, при некотором критическом значении k , которое мы обозначим как k * , доходность (эффективность) операции оказывается равной нулю. Из равенства i эфф =0 находим, что k * =1+ ni , что в свою очередь означает K * 1 = K 0 (1+ ni ).

ВЫВОД 1: Если ожидаемые величины k или K 1 превышают свои критические значения, то операция явно убыточна (i эфф <0 ).

Теперь определим максимально допустимое значение курса обмена в конце операции K 1 , при котором эффективность будет равна существующей ставке по депозитам в валюте, и применение двойной конвертации не дает никакой дополнительной выгоды. Для этого приравняем множители наращения для двух альтернативных операций

.

Из записанного равенства следует, что

или

.

ВЫВОД 2: Депозит валюты через конвертацию в рубли выгоднее валютного депозита, если обменный курс в конце операции ожидается меньше max K 1 .

ВАРИАНТ:РУБЛИ ® ВАЛЮТА ® ВАЛЮТА ® РУБЛИ

Рассмотрим теперь вариант с двойной конвертацией, когда имеется исходная сумма в рублях. В этом случае трем этапам операции соответствуют три сомножителя следующего выражения для наращенной суммы

.

Здесь также множитель наращения линейно зависит от ставки, но теперь от валютной ставки процентов. От конечного курса обмена он также зависит линейно.

Проведем теоретический анализ эффективности этой операции с двойной конвертацией и определим критические точки.

.

Отсюда, подставив выражение для S r , получаем

.

Зависимость показателя эффективности i эфф от k линейная, она представлена на рис. 3

Рис . 3.

При k=1 i эфф =j , при k>1 i эфф >j , при k<1 i эфф .

Найдем теперь критическое значение k * , при котором i эфф =0 . Оно оказывается равным

или .

ВЫВОД 3: Если ожидаемые величины k или K 1 меньше своих критических значений, то операция явно убыточна (i эфф <0 ).

Минимально допустимая величина k (темпа роста валютного курса за весь срок операции), обеспечивающая такую же доходность, что и прямой вклад в рублях, определяется путем приравнивания множителей наращения для альтернативных операций (или из равенства i эфф = i )

,

откуда min или min .

ВЫВОД 4: Депозит рублевых сумм через конвертацию в валюту выгоднее рублевого депозита, если обменный курс в конце операции ожидается больше min K 1 .

Теперь рассмотрим совмещение конвертации валюты и наращение сложных процентов. Ограничимся одним вариантом.

ВАРИАНТ:ВАЛЮТА ® РУБЛИ ® РУБЛИ ® ВАЛЮТА k =1 i э = i , при k >1 i э < i , а при k <1 i э > i .

Критическое значение k , при котором эффективность операции равна нулю, т.е. i э =0 ,

определяется как k * =(1+ i ) n , что означает равенство среднегодового темпа роста курса валюты годовому темпу наращения по рублевой ставке: .

ВЫВОД 5: Если ожидаемые величины k или K 1 больше своих критических значений, то рассматриваемая операция с двойной конвертацией явно убыточна (i э <0 ).

Максимально допустимое значение k , при котором доходность операции будет равна доходности при прямом инвестировании валютных средств по ставке

Контур финансовой операции

Финансовая или кредитная операции предполагают сбалансированность вложений и отдачи. Понятие сбалансированности можно пояснить на графике.

Рис. 5.

Пусть ссуда в размере D 0 выдана на срок T . На протяжении этого срока в счет погашения задолженности производятся, допустим, два промежуточных платежа R 1 и R 2 , а в конце срока выплачивается остаток задолженности R 3 , подводящий баланс операции.

На интервале времени t 1 задолженность возрастает до величины D 1 . В момент t 1 долг уменьшается до величины K 1 = D 1 - R 1 и т.д. Заканчивается операция получением кредитором остатка задолженности R 3 . В этот момент задолженность полностью погашается.

Назовем график типа б) контуром финансовой операции . Сбалансированная операция обязательно имеет замкнутый контур, т.е. последняя выплата полностью покрывает остаток задолженности. Контур операции обычно применяется при погашении задолженности частичными промежуточными платежами.

С помощью последовательных частичных платежей иногда погашаются краткосрочные обязательства. В этом случае существуют два метода расчета процентов и определения остатка задолженности. Первый называется актуарным и применяется в основном в операциях со сроком более года . Второй метод назван правилом торговца . Он обычно применяется коммерческими фирмами в сделках со сроком не более года .

Замечание: При начислении процентов, как правило, используются обыкновенные проценты с приближенным числом дней временных периодов.

Актуарный метод

Актуарный метод предполагает последовательное начисление процентов на фактические суммы долга. Частичный платеж идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница идет на погашение основной суммы долга. Непогашенный остаток долга служит базой для начисления процентов за следующий период и т.д. Если же частичный платеж меньше начисленных процентов, то никакие зачеты в сумме долга не делаются. Такое поступление приплюсовывается к следующему платежу.

Для случая, показанного на рис. 5 б), получим следующие расчетные формулы для определения остатка задолженности:

K 1 =D 0 (1+t 1 i)-R 1 ; K 2 =K 1 (1+t 2 i)-R 2 ; K 2 (1+t 3 i)-R 3 =0,

где периоды времени t 1 , t 2 , t 3 - заданы в годах, а процентная ставка i - годовая.

Правило торговца

Правило торговца является другим подходом к расчету частичных платежей. Здесь возможны две ситуации.

1) Если срок ссуды не превышает, сумма долга с начисленными за весь срок процентами остается неизменной до полного погашения. Одновременно идет накопление частичных платежей с начисленными на них до конца срока процентами.

2) В случае, когда срок превышает год, указанные выше расчеты, делаются для годового периодазадолженности. В конце года из суммы задолженности вычитается наращенная сумма накопленных частичных платежей. Остаток погашается в следующем году.

При общем сроке ссуды T £ 1 алгоритм можно записать следующим образом

,

где S - остаток долга на конец срока,

D - наращенная сумма долга,

K - наращенная сумма платежей,

R j - сумма частичного платежа,

t j - интервал времени от момента платежа до конца срока,

m - число частичных (промежуточных) платежей.

Переменная сумма счета и расчет процентов

Рассмотрим ситуацию, когда в банке открыт сберегатель­ный счет, и сумма счета в течение срока хранения изменяется: денежные средства снимаются, делаются дополнительные взносы. Тогда в банковской практике при расчете процентов часто используют методику расчета с вычислением так называемых процентных чисел . Каждый раз, когда сумма на счете изменяется, вычисляется процентное число C j за прошедший период j , в течение которого сумма на счете оставалась неизменной, по формуле

,

где t j - длительность j -го периода в днях.

Для определения суммы процентов, начисленной за весь срок, все процентные числа складываются и их сумма делится на постоянный делитель D :

,

где K - временная база (число дней в году, т.е. 360 либо 365 или 366), i - годовая ставка простых процентов (в %).

При закрытии счета владелец получит сумму равную последнему значению суммы на счете плюс сумму процентов.

Пример 14.

Пусть 20 февраля был открыт счет до востребования в размере P 1 =3000 руб., процентная ставка по вкладу равнялась i =20% годовых. Дополнительный взнос на счет составил R 1 =2000 руб. и был сделан 15 августа. Снятие со счета в размере R 2 =-4000 руб. зафиксировано 1 октября, а 21 ноября счет был закрыт. Требуется определить сумму процентов и общую сумму, полученную вкладчиком при закрытии счета.

Решение.

Расчет будем вести по схеме (360/360). Здесь имеются три периода, в течение которых сумма на счете оставалась неизменной: с 20 февраля по 15 августа (P 1 =3000, t 1 =10+5*30+15=175), с 15 августа по 1 октября (P 2 = P 1 + R 1 =3000+2000=5000 руб., t 2

Сумма, выплачиваемая при закрытии счета, равна

P 3 +I=1000+447.22=1447 руб . 22 коп .

Теперь покажем связь этой методики с формулой простых процентов. Рассмотрим в алгебраическом виде представленный выше пример.

C умму, выплачиваемую при закрытии счета, найдем следующим образом

Таким образом, мы получили выражение, из которого следует, что на каждую сумму, добавляемую или снимаемую со счета, начисляются проценты с момента совершения соответствующей операции до закрытия счета. Эта схема соответствует правилу торговца, рассмотренному в разделе 6.2.

Изменение условий контракта

В практике часто возникает необходимость в изменении условий контракта: например, должник может попросить об отсрочке срока погашения долга или, напротив, изъявить желание погасить его досрочно, в ряде случаев может возникнуть потребность объединить (консолидировать) несколько долговых обязательств в одно и т.д. Во всех этих случаях применяется принцип финансовой эквивалентности старых (заменяемых) и новых (заменяющих) обязательств. Для решения задач по изменению условий контракта разрабатывается так называемое уравнение эквивалентности , в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому-либо одному моменту времени, приравнивается сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Для краткосрочных контрактов применяются простые процентные ставки, а для средне- и долгосрочных - сложные ставки.

Такое понятие, как сложный процент по вкладу приходится слышать достаточно редко, большинство банковских клиентов, потенциальных вкладчиков предпочитают формулировку «капитализация процентов». Тем не менее, основная задача каждого клиента, владельца депозитного счета – получить прибыль от сотрудничества с банком , здесь именно сложный процент по вкладу это обеспечивает. В банковских предложениях, в большинстве своем указана базовая процентная ставка, то есть без учёта процентов на проценты. Но все же вкладчикам обязательно стоит знать, как рассчитываются сложные проценты по вкладам. Попробуем ответить на вопрос.

Как начисляются проценты по вкладам

На самом деле здесь процесс начисления достаточно простой. Банк указывает клиенту годовую ставку, например, 8% и на всю сумму инвестиции ее начисляет. Приведем простой пример: сумма вклада 10000 рублей, ставка 8%, срок 1 год. По окончании месяца сумма к выдаче составит 10800 рублей. В данном примере применялась формула простых процентов, которая выглядит так:

S=D*(P/100), где:

• S – итоговая сумма, по окончании срока действия договора;
• D – сумма инвестиций;
• P – годовой процент.

Что касается индивидуальных условий банковского обслуживания, то всё зависит от внутреннего регламента коммерческой организации. То есть, некоторые банки начисляют доход по окончании срока действия договора, другие кредитно-финансовые организации рассчитывают доход с определенной периодичностью, например, один раз в месяц, квартал или полугодие. Соответственно, клиент может получать свое вознаграждение на протяжении срока действия договора.

Кроме всего прочего, в банковской терминологии применяются такие понятия, как фиксированный и плавающий годовой процент. Фиксированное значение - это то, которое действует от начала до конца срока вложений и может измениться только при том обстоятельстве, если предусмотрена автоматическая пролонгация договора. По той причине, что в данном случае банк устанавливает тот процент, который действует на дату пролонгации.

Плавающий процент применяется при депозитах с возможностью пополнения счёта. Например, по условия банковского вклада владелец депозитного счёта может пополнять его на определенную сумму, при этом годовой процент полностью зависит от размера вклада, а постольку, поскольку он пополняемый, то за весь период срока действия договора сумма увеличивается, соответственно, вместе с ней увеличивается и годовой процент.

Посчитать проценты за месяц достаточно просто, нужно применить формулу, указанную выше, но с небольшой корректировкой: S=D*(P/100/12) , то есть вклад с вышеуказанными параметрами принесет своему владельцу доход в размере 67 рублей.

Обратите внимание, что расчеты по представленной формуле предварительные, потому что банк рассчитывает прибыль для вкладчиков за каждый день, а затем умножает на количество дней в периоде.

Капитализация процентов

На самом деле вклады под сложные проценты принято называть вклад с капитализацией процентов. Что это такое? Если говорить просто, то для вкладчика это означает начисление процентов на проценты. Например, по условиям банковского вклада прибыль от депозита начисляется ежемесячно, но, постольку, поскольку она остается не востребована вкладчиком, ее банк прибавляет к телу депозита.

Здесь размер прибыли во многом зависит от количества периодов капитализации. Многие крупные банки, в частности, Сбербанк России, ВТБ 24 и другие, предлагают своим клиентам капитализацию один раз в квартал, то есть каждые 3 месяца. А другие коммерческие банки могут вовсе рассчитывать прибыль один раз в год, соответственно, первая капитализация будет только через 12 месяцев, а именно на этот срок большинство заключает договор.

Вернемся к вопросу, как выглядит формула сложных процентов для банковских вкладов. Попробуем рассчитать прибыль от депозита за один год:

S=D×(1+N×L100×365)^x, где:

• S – общая сумма денежных средств, подлежащая возврату вкладчику по истечении срока действия депозитного договора;
• N – годовой процент без учета капитализации;
• L – число дней в том периоде, за который банк проводит капитализацию процентов;
• x – количество капитализаций за весь период действия договора;
• D – сумма инвестиций в банковский вклад.

• сумма инвестиций - 10000 рублей;
• капитализация осуществляется один раз в месяц (всего в году 365 дней), соответственно здесь L будет равно 365/12=30,41;
• количество капитализации - 12;
• годовая ставка - 8%;

Теперь произведем расчет:

S=10000×(1+8×30,41100×365)^12= 10830 рублей – это общая прибыль по депозиту на конец срока действия договора.

Как видно, посчитать самостоятельно прибыль от депозита не так сложно. Но банки рассчитывают доход вкладчика с учетом капитализации процентов несколько по-другому. То есть, от базовой процентной ставки высчитывается эффективный процент по вкладу, то есть тот который будет действовать с учетом причисления процентов к телу депозита на протяжении срока действия депозитного договора.

Формула сложных процентов по вкладам будет выглядеть следующим образом:

((1+P/12)^x-1)×12/x, где:

• P – это годовой процент без учета капитализации;
• x – количество периодов капитализации (при том условии, если она осуществляется ежемесячно).

Рассмотрим простотой пример расчета процентной ставки, при том условии, что базовое значение 8% в год. Расчет сложной ставки:

((1+8/100/12)^ 12-1)×12/12=0,083.

То есть, согласно данным расчетам базовая ставка 8% будет увеличена на 0,083% при капитализации процентов. Если же капитализация будет осуществляться один раз в квартал, то рассчитать эффективную ставку можно по следующей формуле:

((1+P/100/4)^4-1)×100%.

Считаем вклад с теми же параметрами ((1+8/100/4)^4-1)×100%=0,2682417945625, или приблизительно 0,268.

Обратите внимание, что информация по расчетам носит справочный характер, окончательное значение по вашему договору вы можете узнать непосредственно в банке.

Расчет прибыли для вклада с пополнением

Большинство вкладчиков сегодня выбирают депозитные программы с возможностью пополнения. Суть данного предложения заключается в том, что за весь период действия договора клиент может пополнять свой счет на определенную сумму. Несомненно, в данном случае прибыль будет рассчитываться совершенно по-другому.

• сумма 10000 рублей;
• ставка с учетом капитализации – 8,083%;
• срок 3 месяца;
• капитализация ежемесячно;
• ежемесячное пополнение 1000 рублей.

Считаем прибыль:

• 1 месяц – 10000+(10000×8,083/100/12)+1000=11067,358 рублей;
• 2 месяц – 11067,358+(11067,358×8,083/100/12)+1000=12141,905 рублей;
• 3 месяц – 12141,905+(12141,905×8,083/100/12)+1000=13223,690 рублей.

Таким образом, по истечении срока действия договора сумма инвестиций составит 13 тысяч рублей. Чистая прибыль будет равняться 223,69 рублям.

Особенности начисления прибыли

На самом деле, вопрос начисления процентов по депозиту строго индивидуальный. Если быть точнее, то всё зависит от условий договора с банком. Например, разновидности вклада очень много, банки предоставляют возможность пополнять счет, частично снимать наличные, получать ежемесячную прибыль в виде начисленных процентов. Соответственно, вопрос расчёта также строго индивидуальный.

В любом случае, все действующие условия депозита должны быть отражены в договоре с банком. Кроме того, банк должен указать вкладчику принцип начисления прибыли и прочие нюансы. Не стоит забывать о том, что в некоторых случаях банк ограничивает начисление прибыли, например, когда сумма вашего депозита превышает допустимый предел согласно условиям предложения.

Как правильно выбрать депозит в банке

Из выше приведенных формул, можно сделать определенный вывод, что для достижения максимальной прибыли стоит выбирать депозитные предложения с капитализацией. Пополнение счета позволит вкладчику контролировать свой доход, то есть это дает возможность вкладывать в депозит любую свободную сумму средств, на которую банк в будущем начислит свой процент. При этом стоит учитывать тот факт, что при досрочном отзыве средств годовую ставку снижается доставки от 0,01 до 0,1% годовых.

Что касается срока депозита, то разумнее выбирать средние сроки от полугода до одного года. На самом деле прибыльность будет зависеть непосредственно от этого. Как правило, чем меньше срок, тем ниже процентная ставка по вкладу, с другой стороны, заключение договора на длительный срок не позволит вкладчику отозвать средства раньше него. Поэтому стоит выбирать банк, где возможна автоматическая пролонгация договора на следующий срок.

В данном случае клиенту не нужно перезаключать договор вклада, так как банк сделает это автоматически.
Если сделать определенный вывод, то начисление сложных процентов по вкладам рассчитать будет довольно сложно, к тому же вы можете рассчитать сумму прибыли лишь приблизительно. Кстати, нельзя не сказать о том, что в интернете в открытом доступе можно найти калькулятор вклада которые также производят лишь предварительный расчёт окончательные выводы можно сделать только после обращения непосредственно в банк.

Простые проценты применяются в ссудозаемных финансовых операциях продолжительностью до одного года. При использовании этой схемы начисление процентов осуществляется однократно с учетом неизменной базы расчета. Для исчисления применяет следующая :

FV=CFo×(1+n×r) ,

где FV –будущая стоимость денежных средств,

r – процентная ставка,

n – срок начисления.

В том случае, когда продолжительность ссудозаемной операции меньше календарного года, то для расчета используется следующая формула:

FV=CFo×(1+t/T×r),

где t – продолжительность операции в днях,

Т – общее количество дней в году

Расчет сложных процентов

При использовании сложной ставки годовой доход в каждом периоде рассчитывается не с исходной суммы вклада, а с общей накопленной суммы, включающей также начисленные ранее проценты. Таким образом, по мере начисления процентов происходит капитализация процентов.

Предположим, вкладчик разместил на депозит в банке 1000 рублей под 6% годовых. Определите, какая сумма будет за два года, если проценты начисляются по сложной схеме

Процентный доход = ставка процента×первоначальные вложения = 1000×0,06=60 рублей

Таким образом, к концу 1-го года на депозите будет накоплена сумма:

FV1=1000+60=1060 рублей=1000×(1+0,06)

Если не снимать деньги со счета, а оставить их до следующего года, то в конце 2-го года на счете будет накоплена сумма:

FV2=FV1 ×(1+r)=CVo×(1+r)×(1+r)=CVo×(1+r)^2 =1060×(1+0,06)=1000×(1+0,06)×(1+0,06)=1123,6 рублей

Для расчета сложных процентов применяется следующая формула:

FVn=CVo×FVIF(r,n)=CVo×(1+r)^n

Множитель наращения сложных процентов FVIF (r,n) показывает, чему будет равна одна денежная единица через n периодов при определенной процентной ставке r.

На практике очень часто для предварительной оценки эффективности процентной ставки рассчитывают период времени, необходимый для увеличения первоначального вклада вдвое. Число периодов, за которое исходная сумма приблизительно удвоится, составляет 72/r. Например, при ставке 9 % годовых первоначальный капитал удвоится приблизительно за 8 лет.

Сравнение простой и сложной схем начисления процентов

Для сравнения разных схем начисления процентов необходимо как множители наращения изменяются при различных значениях показателя n.

Если n = 1, то (1+n×r) = (1+r)^n .

Если n > 1, то (1+n×r) < (1+r)^n .

Если 0 < n <1, то (1+n×r) > (1+r)^n .

Таким образом, если срок ссуды составляет менее 1 года, то для кредитора выгодно использовать схему простых процентов. Если период начисления процентов равен 1 году, то результаты по обеим схемам совпадут.

Частные случаи начисления процентов

В современной банковской практике иногда встречаются контакты, которые заключаются на срок, отличающийся от целого числа лет. В этом случае могут использоваться два варианта начисления:

1) по схеме сложных процентов

FVn=CFo×(1+r)^w+f;

2) по смешанной схеме

FVn=CFo×(1+r)^w×(1+f×r),

где w – целое число лет,

f – дробная часть года.

Предположим, вкладчик разместил на депозит 40000 рублей на срок 2 года 6 месяцев под 10% годовых, проценты начисляются ежегодно. Сколько получит вкладчик, если банк начисляет проценты по сложной или по смешанной схеме.

1) Расчет по сложной схеме начисления:

40000×(1+0,1)^2,5=50762, 3 руб.

2) Расчет по смешанной схеме начисления:

40000×(1+0,1)^2×(1+0,5×0,1)=50820 руб.

По некоторым вкладам начисление процентов происходит чаще, чем один раз в год. В таких случаях применяется следующая формула:

FVn=CFo ×(1+r/m)^m×n ,

где m – количество начислений в году.

Определите будущую стоимость 7000 рублей, инвестированных на 3 года, под 7 % годовых, если проценты начисляются ежеквартально?

FV3=7000 ×(1+0,07/4)^3×4 = 8620,1 руб.

Обратите внимание, что при заключении договора на вклад в банке необходимо помнить, что чаще всего в документах не используется термины «простые» или «сложные» проценты. Для обозначения простой схемы начисления в договоре может быть указана фраза «проценты по вкладу начисляются в конце срока». А при использовании сложной схемы, в договоре может быть указано, что проценты начисляются раз в год, квартал или месяц.

. База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоянной – она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые про центы на один период начисления ( running period ). Присоедине ние начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.

Найдем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты). Для этого применяется сложная став ка наращения. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым про центам:

P - первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капита ла и т.д.),

S - наращенная сумма на конец срока ссуды,

п - срок, число лет наращения,

i - уровень годовой ставки процентов, представленный де сятичной дробью.

Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Р i , а наращенная сумма составит. К конц у второго года она достигнет величины В конце n -го года наращенная сумма будет равна

(4.1)

Процентыза этот же срокв целом таковы:

(4.2)

Часть из них поучена за счет начисления процентов на проценты. Она составляет

(4.3)

Как показано выше, рост по сложным процентам представ ляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен Р , а знаменатель – . Последний член прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды.

Величину называют множителем наращения по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.).

Время при наращении по сложной ставке обычно измеряет ся как АСТ/ A СТ.

Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров - i и п. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке.

Формула наращения по сложным процентам получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Однако ее можно применять и при других периодах начисле ния. В этих случаях i означает ставку за один период начисления (месяц, квартал и т.д.), а n – число таких периодов. На пример, если i –ставка за полугодие, то п – число полугодий и т.д.

Формулы (4.1) - (4.3) предполагают, что проценты на про центы начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную сумму долга. Усложним условия начислений процен тов. Пусть проценты на основной долг начисляются по ставке i а проценты на проценты – по ставке В этом случае

Ряд в квадратных скобках представляет собой геометриче скую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем. В итоге имеем

(4.4)

· Пример 4.1

2. Начисление процентов в смежных календарных периодах. Вы ше при начислении процентов не принималось во внимание расположение срока начисления процентов относительно календарных периодов. Вместе с тем, часто даты начала и окончания ссуды находятся в двух периодах. Ясно, что начисленные за весь срок проценты не могут быть отнесены только к послед нему периоду. В бухгалтерском учете, при налогообложении, наконец, в анализе финансовой деятельности предприятия воз никает задача распределения начисленных процентов по периодам.

Общий срок ссуды делится на два периода n 1 и n 2 . Соответственно ,

где

· Пример 4.2

3. Переменные ставки. Формула предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать “классическую” схему, например, с помощью применения плавающих ставок ( floating rate ). Естественно, что расчет на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело - расчет постфактум. В этом случае, а также тогда, когда измене ния размеров ставок фиксируются в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных, т.е.

(4.5)

где - последовательные значения ставок; - периоды, в течение которых “работают” соответствующие ставки.

· Пример 4.3

4. Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок в го дах для начисления процентов не является целым числом. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяют два метода. Согласно первому, назовем его общим, расчет ведется по формуле:

(4.6)

Второй, сме шанный, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:

,(4.7)

где – срок ссуды, а - целое число лет, b - дробная часть года.

Аналогичный метод применяется и в случаях, когда перио дом начисления является полугодие, квартал или месяц.

При выборе метода расчета следует иметь в виду, что мно житель наращения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему, так как для п < 1 справедли во соотношение

Наибольшая разница наблю дается при b = 1/2.

· Пример 4.4

5. Сравнение роста по сложным и простым процентам. Пусть временная база для начисленияодна и та же, уровень процентных ставок совпадает, тогда:

1) для срока меньше года простые проценты больше сложных

2) для срока больше года

3) для срока 1 год множители наращения равны друг другу

Используя коэффициент наращения по простыми сложным процентам можно определить время, необходимое для увеличенияпервоначальной суммы в n раз. Для этого необходимо, что быкоэффициенты наращениябыли равны величине n :

1) для простых процентов

2) для сложных процентов

Формулы дляудвоениякапитала имеют вид: